[026-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷二十一
面部十一
圜内容各等邊形
圜外切各等邊形
[026-2a]
圜内容各等邊形
設如圜徑一尺二寸求内容三等邊形之每一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為
勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲
有餘為圜内容三等邊形之每一邊爰
以三等邊形之每一邊為弦每一邊折
半為勾求得股九寸或以圜徑一尺二
[026-2b]
寸取其四分之三亦得九寸為圜内容
三等邊形之中垂線乃以每一邊之一
尺零三分九釐二豪三絲有餘與中垂
線九寸相乘得九十三寸五十三分零
七釐有餘折半得四十六寸七十六分
五十三釐有餘即圜内容三等邊形之
面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容
甲丙丁三等邊形試自丁至乙作丁乙
線即圜内容六等邊形之每一邊與丁
[026-2b]
戊半徑等甲乙全徑丁乙半徑與甲丁
[026-3a]
邊遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全徑
為弦丁乙半徑為勾求得甲丁股即圜
内容三等邊形之每一邊也其甲己中
垂線即甲丁弦己丁勾所求之股又為
圜徑四分之三既得一邊又得中垂線
即如三角形求面積法算之而得圜内
容三等邊形之面積也
又法以全圜三百六十度三分之每分
[026-3b]
得一百二十度折半得六十度乃以半
徑十萬為一率六十度之正弦八萬六
千六百零三為二率今所設之半徑六
寸為三率求得四率五寸一分九釐六
豪一絲八忽倍之得一尺零三分九釐
二豪三絲六忽為圜内容三等邊形之
每一邊既得每一邊之數乃取圜徑四
分之三為中垂線與每一邊之數相乘
折半得四十六寸七十六分五十六釐
[026-3b]
有餘即圜内容三等邊形之面積也如
[026-4a]
圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁三
等邊形每一邊之弧皆一百二十度試
將甲丙邊折半於戊自圜心己作己戊
庚半徑線遂平分甲丙弧於庚則甲庚
弧為六十度甲戊即六十度之正弦甲
丙即一百二十度之通弦是故半徑十
萬與六十度之正弦之比即如所設之
半徑六寸與甲戊之半邊之比既得半
[026-4b]
邊倍之即全邊也
又用求圜内各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜内容三等邊形之毎一邊八
六六○二五四○為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率一尺零
三分九釐二豪三絲有餘即圜内容三
等邊形之每一邊也
又用求圜内各形之面積之定率比例
[026-4b]
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
[026-5a]
○○○○○○○為一率圜内容三等
邊形之面積三二四七五九五三為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率四十六
寸七十六分五十三釐有餘即圜内容
三等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-5b]
内容三等邊形之面積四一三四九六
六七為二率今所設之圜徑一尺二寸
求得圜面積一尺一十三寸零九分七
十三釐有餘為三率求得四率四十六
寸七十六分五十三釐有餘即圜内容
三等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容四等邊形之每一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
[026-5b]
自乘得三十六寸倍之得七十二寸開
[026-6a]
方得八寸四分八釐五豪二絲八忽有
餘為圜内容四等邊形之每一邊其半
徑自乘倍之所得七十二寸即圜内容
四等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一
尺二寸内容甲丙乙丁四等邊形試自
圜心戊至丁角作戊丁半徑線遂成甲
戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同為半徑
一為勾一即為股故止以半徑自乘倍
[026-6b]
之開方而得甲丁弦即圜内容四等邊
形之每一邊也每一邊自乘是仍為半
徑自乘倍之之數即圜内容四等邊形
之面積也
又法以全圜三百六十度四分之每分
得九十度折半得四十五度乃以半徑
十萬為一率四十五度之正弦七萬零
七百一十一為二率今所設之半徑六
寸為三率求得四率四寸二分四釐二
[026-6b]
豪六絲六忽倍之得八寸四分八釐五
[026-7a]
豪三絲二忽為圜内容四等邊形之毎
一邊既得每一邊之數即以毎一邊自
乘得七十二寸即圜内容四等邊形之
面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容
甲丙乙丁四等邊形每一邊之弧皆九
十度試將甲丙邊折半於戊自圜心己
作己戊庚半徑線遂平分甲丙弧於庚
則甲庚弧為四十五度甲戊即四十五
[026-7b]
度之正弦甲丙即九十度之通弦是故
半徑十萬與四十五度之正弦之比即
如所設之半徑六寸與甲戊之半邊之
比既得半邊倍之即全邊也
又用求圜内各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜内容四等邊形之毎一邊七
○七一○六七八為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率八寸四
[026-7b]
分八釐五豪二絲八忽有餘即圜内容
[026-8a]
四等邊形之每一邊也
又用求圜内各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜内容四等
邊形之面積五○○○○○○○為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率七十二
寸即圜内容四等邊形之面積也
[026-8b]
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
内容四等邊形之面積六三六六一九
七七為二率今所設之圜徑一尺二寸
求得圜面積一尺一十三寸零九分七
十三釐有餘為三率求得四率七十二
寸即圜内容四等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容五等邊形之每一邊及
面積幾何
[026-8b]
法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
[026-9a]
為首率用連比例三率有首率求中率
末率使中率末率相加與首率等之法
求得中率三寸七分零八豪二絲有餘
即圜内容十等邊形之每一邊詳見割/圜卷中
乃以所得中率與半徑首率相減餘二
寸二分九釐一豪八絲為末率折半得
一寸一分四釐五豪九絲為半末率即
以此半末率為勾中率為弦求得股三
[026-9b]
寸五分二釐六豪七絲一忽有餘倍之
得七寸零五釐三豪四絲二忽有餘為
圜内容五等邊形之每一邊又以中率
與半末率相加得四寸八分五釐四豪
一絲有餘為自圜心至每一邊之中垂
線乃以每一邊折半之數與中垂線相
乘得一十七寸一十一分九十釐有餘
五因之得八十五寸五十九分五十釐
有餘即圜内容五等邊形之面積也如
[026-9b]
圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊
[026-10a]
己五等邊形試自圜心庚至每角各作
一半徑線即分五等邊形為五三角形
又自乙至戊作乙戊線即圜内容十等
邊形之每一邊庚乙庚戊半徑與乙戊
邊遂成庚乙戊三角形又依乙戊線度
截庚乙半徑於辛作戊辛線則又成戊
辛乙三角形與庚乙戊三角形為同式
形故庚乙為首率乙戊戊辛俱為中率
[026-10b]
辛乙為末率辛壬與壬乙俱為半末率
是以壬乙半末率為勾乙戊中率為弦
求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五
等邊形之毎一邊又以庚辛中率與辛
壬半末率相加得庚壬中垂線用三角
形求面積法算之得庚丁戊一三角形
面積五倍之而得圜内容五等邊形之
總面積也
又法以全圜三百六十度五分之每分
[026-10b]
得七十二度折半得三十六度乃以半
[026-11a]
徑十萬為一率三十六度之正弦五萬
八千七百七十九為二率今所設之半
徑六寸為三率求得四率三寸五分二
釐六豪七絲四忽倍之得七寸零五釐
三豪四絲八忽為圜内容五等邊形之
每一邊次以半徑十萬為一率三十六
度之餘弦八萬零九百零二為二率今
所設之半徑六寸為三率求得四率四
[026-11b]
寸八分五釐四豪一絲二忽為自圜心
至每一邊之中垂線與毎一邊折半之
數相乘五因之得八十五寸五十九分
六十釐有餘為圜内容五等邊形之面
積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲
丙丁戊己五等邊形每一邊之弧皆七
十二度試將甲丙邊折半於庚自圜心
辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙弧於
壬則甲壬弧為三十六度甲庚即三十
[026-11b]
六度之正弦甲丙即七十二度之通弦
[026-12a]
辛庚即三十六度之餘弦是故半徑十
萬與三十六度之正弦之比即如所設
之半徑六寸與甲庚之半邊之比既得
半邊倍之即全邊又半徑十萬與三十
六度之餘弦之比即如所設之半徑六
寸與辛庚中垂線之比也
又用求圜内各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
[026-12b]
為一率圜内容五等邊形之每一邊五
八七七八五二五為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率七寸零
五釐三豪四絲二忽有餘即圜内容五
等邊形之每一邊也
又用求圜内各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜内容五等
邊形之面積五九四四一○三一為二
[026-12b]
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
[026-13a]
尺四十四寸為三率求得四率八十五
寸五十九分五十釐有餘即圜内容五
等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
内容五等邊形之面積七五六八二六
七二為二率今所設之圜徑一尺二寸
求得圜面積一尺一十三寸零九分七
[026-13b]
十三釐有餘為三率求得四率八十五
寸五十九分五十釐有餘即圜内容五
等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容六等邊形之每一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
即圜内容六等邊形之每一邊爰以半
徑六寸為弦毎一邊折半得三寸為勾
求得股五寸一分九釐六豪一絲五忽
[026-13b]
有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃
[026-14a]
以每一邊折半之數與中垂線相乘得
一十五寸五十八分八十四釐有餘六
因之得九十三寸五十三分零四釐有
餘即圜内容六等邊形之面積也如圖
甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊
己六等邊形其每一邊皆六寸與半徑
等試自圜心庚至每角各作一半徑線
即分六等邊形為六三角形以甲庚半
[026-14b]
徑為弦甲丙一邊折半得甲辛為勾求
得股為庚辛中垂線用三角形求面積
法算之得甲丙庚一三角形之面積六
倍之而得圜内容六等邊形之總面積
也
又法以全圜三百六十度六分之每分
得六十度折半得三十度乃以半徑十
萬為一率三十度之正弦五萬為二率
今所設之半徑六寸為三率求得四率
[026-14b]
三寸倍之得六寸為圜内容六等邊形
[026-15a]
之每一邊次以半徑十萬為一率三十
度之餘弦八萬六千六百零三為二率
今所設之半徑六寸為三率求得四率
五寸一分九釐六豪一絲八忽為自圜
心至每一邊之中垂線與每一邊折半
之數相乘六因之得九十三寸五十三
分一十二釐有餘為圜内容六等邊形
之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内
[026-15b]
容甲丙丁乙戊己六等邊形每一邊之
弧皆六十度試將甲丙邊折半於庚自
圜心辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙
弧於壬則甲壬弧為三十度甲庚即三
十度之正弦甲丙即六十度之通弦辛
庚即三十度之餘弦是故半徑十萬與
三十度之正弦之比即如所設之半徑
六寸與甲庚之半邊之比既得半邊倍
之即全邊又半徑十萬與三十度之餘
[026-15b]
弦之比即如所設之半徑六寸與辛庚
[026-16a]
中垂線之比也
又用求圜内各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜内容六等邊形之每一邊五
○○○○○○○為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率六寸即
圜内容六等邊形之每一邊也
又用求圜内各形之面積之定率比例
[026-16b]
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜内容六等
邊形之面積六四九五一九○五為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率九十三
寸五十三分零七釐有餘即圜内容六
等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-16b]
内容六等邊形之面積八二六九九三
[026-17a]
三四為二率今所設之圜徑一尺二寸
求得圜面積一尺一十三寸零九分七
十三釐有餘為三率求得四率九十三
寸五十三分零七釐有餘即圜内容六
等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容七等邊形之每一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
[026-17b]
為一率用連比例四率有一率求二率
三率四率使一率與四率相加與二率
兩倍再加一三率等之法求得二率二
寸六分七釐零二絲五忽有餘為圜内
容十四等邊形之每一邊詳見割/圜卷中乃以
半徑六寸為底仍以半徑六寸與十四
等邊形之毎一邊二寸六分七釐零二
絲五忽有餘為兩腰用三角形求中垂
線法算之得二寸六分零三豪三絲有
[026-17b]
餘倍之得五寸二分零六豪六絲有餘
[026-18a]
為圜内容七等邊形之每一邊爰以半
徑六寸為弦七等邊形之每一邊折半
為勾求得股五寸四分零五豪八絲一
忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線
乃以每一邊折半之數與中垂線相乘
得一十四寸零七分二十九釐有餘七
因之得九十八寸五十一分零三釐有
餘即圜内容七等邊形之面積也如圖
[026-18b]
甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己
庚辛七等邊形試自圜心壬至毎角各
作一半徑線即分七等邊形為七三角
形又自戊至乙作戊乙線即圜内容十
四等邊形之毎一邊壬乙壬戊半徑與
戊乙邊遂成壬戊乙三角形故以壬乙
半徑為底壬戊半徑與戊乙十四等邊
形之每一邊為兩腰求得戊癸垂線倍
之得戊己即圜内容七等邊形之每一
[026-18b]
邊也又壬戊為弦戊癸為勾求得股為
[026-19a]
壬癸中垂線用三角形求面積法算之
得壬戊己一三角形之面積七倍之而
得圜内容七等邊形之總面積也
又法以全圜三百六十度七分之每分
得五十一度二十五分四十二秒有餘
折半得二十五度四十二分五十一秒
有餘乃以半徑十萬為一率二十五度
四十二分五十一秒有餘之正弦四萬
[026-19b]
三千三百八十八為二率今所設之半
徑六寸為三率求得四率二寸六分零
三豪二絲八忽倍之得五寸二分零六
豪五絲六忽為圜内容七等邊形之每
一邊次以半徑十萬為一率二十五度
四十二分五十一秒有餘之餘弦九萬
零九十七為二率今所設之半徑六寸
為三率求得四率五寸四分零五豪八
絲二忽為自圜心至每一邊之中垂線
[026-19b]
與每一邊折半之數相乘七因之得九
[026-20a]
十八寸五十分九十六釐有餘為圜内
容七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑
一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等
邊形每一邊之弧皆五十一度二十五
分四十二秒有餘試將甲丙邊折半於
壬自圜心癸作癸壬子半徑線遂平分
甲丙弧於子則甲子弧為二十五度四
十二分五十一秒有餘甲壬即二十五
[026-20b]
度四十二分五十一秒有餘之正弦甲
丙即五十一度二十五分四十二秒有
餘之通弦癸壬即二十五度四十二分
五十一秒有餘之餘弦是故半徑十萬
與二十五度四十二分五十一秒有餘
之正弦之比即如所設之半徑六寸與
甲壬之半邊之比既得半邊倍之即全
邊又半徑十萬與二十五度四十二分
五十一秒有餘之餘弦之比即如所設
[026-20b]
之半徑六寸與癸壬中垂線之比也
[026-21a]
又用求圜内各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜内容七等邊形之每一邊四
三三八八三七四為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率五寸二
分零六豪六絲有餘即圜内容七等邊
形之每一邊也
又用求圜内各形之面積之定率比例
[026-21b]
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜内容七等
邊形之面積六八四一○二五四為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率九十八
寸五十一分零七釐有餘即圜内容七
等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-21b]
内容七等邊形之面積八七一○二六
[026-22a]
四一為二率今所設之圜徑一尺二寸
求得圜面積一尺一十三寸零九分七
十三釐有餘為三率求得四率九十八
寸五十一分零七釐有餘即圜内容七
等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容八等邊形之每一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸求得圜内容四等
[026-22b]
邊形之每一邊為八寸四分八釐五毫
二絲八忽有餘折半得四寸二分四釐
二毫六絲四忽有餘為股又以四邊之
半四寸二分四釐二豪六絲四忽有餘
與半徑六寸相減餘一寸七分五釐七
毫三絲六忽有餘為勾求得弦四寸五
分九釐二豪一絲九忽有餘為圜内容
八等邊形之毎一邊爰以半徑六寸為
弦八等邊形之毎一邊折半得二寸二
[026-22b]
分九釐六豪零九忽有餘為勾求得股
[026-23a]
五寸五分四釐三豪二絲八忽有餘為
自圜心至每一邊之中垂線乃以每一
邊折半之數與中垂線相乘得一十二
寸七十二分七十八釐有餘八因之得
一尺零一寸八十二分二十四釐有餘
即圜内容八等邊形之面積也如圖甲
乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊乙己
庚辛八等邊形先求得圜内容四等邊
[026-23b]
形之毎一邊為戊己折半得戊壬與癸
壬等為股以癸壬與癸乙半徑相減餘
壬乙為勾求得戊乙弦為圜内容八等
邊形之每一邊試自圜心至每角各作
一半徑線即分八等邊形為八三角形
以癸乙半徑為弦戊乙折半得子乙為
勾求得股為癸子中垂線用三角形求
面積法算之得癸戊乙一三角形之面
積八倍之而得圜内容八等邊形之總
[026-23b]
面積也
[026-24a]
又法以全圜三百六十度八分之每分
得四十五度折半得二十二度三十分
乃以半徑十萬為一率二十二度三十
分之正弦三萬八千二百六十八為二
率今所設之半徑六寸為三率求得四
率二寸二分九釐六豪零八忽倍之得
四寸五分九釐二豪一絲六忽為圜内
容八等邊形之每一邊次以半徑十萬
[026-24b]
為一率二十二度三十分之餘弦九萬
二千三百八十八為二率今所設之半
徑六寸為三率求得四率五寸五分四
釐三豪二絲八忽為自圜心至毎一邊
之中垂線與毎一邊折半之數相乘八
因之得一尺零一寸八十二分二十四
釐有餘為圜内容八等邊形之面積也
如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁
戊乙己庚辛八等邊形毎一邊之弧皆
[026-24b]
四十五度試將甲丙邊折半於壬自圜
[026-25a]
心癸作癸壬子半徑線遂平分甲丙弧
於子則甲子弧為二十二度三十分甲
壬即二十二度三十分之正弦甲丙即
四十五度之通弦癸壬即二十二度三
十分之餘弦是故半徑十萬與二十二
度三十分之正弦之比即如所設之半
徑六寸與甲壬之半邊之比既得半邊
倍之即全邊又半徑十萬與二十二度
[026-25b]
三十分之餘弦之比即如所設之半徑
六寸與癸壬中垂線之比也
乂用求圜内各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜内容八等邊形之毎一邊三
八二六八三四三為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率四寸五
分九釐二豪二絲有餘即圜内容八等
邊形之每一邊也
[026-25b]
又用求圜内各形之面積之定率比例
[026-26a]
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜内容八等
邊形之面積七○七一○六七八為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率一尺零
一寸八十二分三十三釐有餘即圜内
容八等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
[026-26b]
面積一○○○○○○○○為一率圜
内容八等邊形之面積九○○三一六
三一為二率今所設之圜徑一尺二寸
求得圜面積一尺一十三寸零九分七
十三釐有餘為三率求得四率一尺零
一寸八十二分三十三釐有餘即圜内
容八等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容九等邊形之每一邊及
面積幾何
[026-26b]
法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
[026-27a]
為一率用連比例四率有一率求二率
三率四率使一率與四率相加與二率
三倍等之法求得二率二寸零八釐三
豪七絲七忽有餘為圜内容十八等邊
形之每一邊詳見割/圜卷中乃以半徑六寸為
底仍以半徑六寸與圜内容十八等邊
形之毎一邊二寸零八釐三豪七絲七
忽有餘為兩腰用三角形求中垂線法
[026-27b]
算之得二寸零五釐二豪一絲一忽有
餘倍之得四寸一分零四豪二絲二忽
有餘即圜内容九等邊形之毎一邊爰
以半徑六寸為弦九等邊形之毎一邊
折半為勾求得股五寸六分三釐八豪
一絲五忽有餘為自圜心至毎一邊之
中垂線乃以毎一邊折半之數與中垂
線相乘得一十一寸五十七分零一釐
有餘九因之得一尺零四寸一十三分
[026-27b]
零九釐有餘即圜内容九等邊形之面
[026-28a]
積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲
丙丁戊己庚辛壬癸九等邊形試自圜
心子至每角各作一半徑線即分九等
邊形為九三角形又自己至乙作己乙
線即圜内容十八等邊形之毎一邊子
乙子己半徑與己乙邊遂成子己乙三
角形故以子乙半徑為底子己半徑與
己乙十八等邊形之毎一邊為兩腰求
[026-28b]
得己丑垂線倍之得己庚為圜内容九
等邊形之每一邊也又子己為弦己丑
為勾求得股為子丑中垂線用三角形
求面積法算之得子己庚一三角形之
面積九倍之而得圜内容九等邊形之
總面積也
又法以全圜三百六十度九分之每分
得四十度折半得二十度乃以半徑十
萬為一率二十度之正弦三萬四千二
[026-28b]
百零二為二率今所設之半徑六寸為
[026-29a]
三率求得四率二寸零五釐二豪一絲
二忽倍之得四寸一分零四豪二絲四
忽為圜内容九等邊形之每一邊次以
半徑十萬為一率二十度之餘弦九萬
三千九百六十九為二率今所設之半
徑六寸為三率求得四率五寸六分三
釐八豪一絲四忽為自圜心至毎一邊
之中垂線與毎一邊折半之數相乘九
[026-29b]
因之得一尺零四寸一十三分零九釐
有餘為圜内容九等邊形之面積也如
圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊
己庚辛壬癸九等邊形毎一邊之弧皆
四十度試將甲丙邊折半於子自圜心
丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧於
寅則甲寅弧為二十度甲子即二十度
之正弦甲丙即四十度之通弦丑子即
二十度之餘弦是故半徑十萬與二十
[026-29b]
度之正弦之比即如所設之半徑六寸
[026-30a]
與甲子之半邊之比既得半邊倍之即
全邊又半徑十萬與二十度之餘弦之
比即如所設之半徑六寸與丑子中垂
線之比也
又用求圜内各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜内容九等邊形之毎一邊三
四二○二○一四為二率今所設之圜
[026-30b]
徑一尺二寸為三率求得四率四寸一
分零四豪二絲四忽有餘即圜内容九
等邊形之每一邊也
又用求圜内各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜内容九等
邊形之面積七二三一三六○六為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率一尺零
[026-30b]
四寸一十三分一十五釐有餘即圜内
[026-31a]
容九等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
内容九等邊形之面積九二○七二五
四二為二率今所設之圜徑一尺二寸
求得圜面積一尺一十三寸零九分七
十三釐有餘為三率求得四率一尺零
四寸一十三分一十五釐有餘即圜内
[026-31b]
容九等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求内容十等邊形之每一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
為首率用連比例三率有首率求中率
末率使中率末率相加與首率等之法
求得中率三寸七分零八豪二絲有餘
即圜内容十等邊形之每一邊詳見割/圜卷中
爰以半徑六寸為弦十等邊形之每一
[026-31b]
邊折半得一寸八分五釐四豪一絲有
[026-32a]
餘為勾求得股五寸七分零六豪三絲
三忽有餘為自圜心至每一邊之中垂
線乃以每一邊折半之數與中垂線相
乘得一十寸五十八分零一釐有餘十
因之得一尺零五寸八十分一十釐有
餘即圜内容十等邊形之面積也如圖
甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己
乙庚辛壬癸十等邊形其子乙半徑為
[026-32b]
首率己乙每一邊為中率其毎一邊皆
三寸七分零八豪二絲有餘試自圜心
子至每角各作一半徑線即分十等邊
形為十三角形以子乙半徑為弦己乙
折半得丑乙為勾求得股為子丑中垂
線用三角形求面積法算之得子己乙
一三角形之面積十倍之而得圜内容
十等邊形之總面積也
又法以全圜三百六十度十分之毎分
[026-32b]
得三十六度折半得十八度乃以半徑
[026-33a]
十萬為一率十八度之正弦三萬零九
百零二為二率今所設之半徑六寸為
三率求得四率一寸八分五釐四豪一
絲二忽倍之得三寸七分零八豪二絲
四忽為圜内容十等邊形之毎一邊次
以半徑十萬為一率十八度之餘弦九
萬五千一百零六為二率今所設之半
徑六寸為三率求得四率五寸七分零
[026-33b]
六豪三絲六忽為自圜心至毎一邊之
中垂線與每一邊折半之數相乘十因
之得一尺零五寸八十分二十七釐有
餘為圜内容十等邊形之面積也如圖
甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己
乙庚辛壬癸十等邊形每一邊之弧皆
三十六度試將甲丙邊折半於子自圜
心丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧
於寅則甲寅弧為十八度甲子即十八
[026-33b]
度之正弦甲丙即三十六度之通弦丑
[026-34a]
子即十八度之餘弦是故半徑十萬與
十八度之正弦之比即如所設之半徑
六寸與甲子之半邊之比既得半邊倍
之即全邊又半徑十萬與十八度之餘
弦之比即如所設之半徑六寸與丑子
中垂線之比也
又用求圜内各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
[026-34b]
為一率圜内容十等邊形之每一邊三
○九○一六九九為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率三寸七
分零八豪二絲有餘即圜内容十等邊
形之每一邊也
又用求圜内各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜内容十等
邊形之面積七三四七三一五六為二
[026-34b]
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
[026-35a]
尺四十四寸為三率求得四率一尺零
五寸八十分一十三釐有餘即圜内容
十等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
内容十等邊形之面積九三五四八九
二八為二率今所設之圜徑一尺二寸
求得圜面積一尺一十三寸零九分七
[026-35b]
十三釐有餘為三率求得四率一尺零
五寸八十分一十三釐有餘即圜内容
十等邊形之面積也
[026-36a]
圜外切各等邊形
設如圜徑一尺二寸求外切三等邊形之每一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為
勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲
有餘倍之得二尺零七分八釐四豪六
絲有餘為圜外切三等邊形之毎一邊
爰以三等邊形之每一邊為弦毎一邊
[026-36b]
折半為勾求得股一尺八寸或以半徑
六寸三倍之得一尺八寸為圜外切三
等邊形之中垂線乃以每一邊之二尺
零七分八釐四豪六絲有餘與中垂線
一尺八寸相乘得三尺七十四寸一十
二分二十八釐有餘折半得一尺八十
七寸零六分一十四釐有餘即圜外切
三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一
尺二寸外切丙丁戊三等邊形試將丙
[026-36b]
丁邊折半於己自圜心庚作庚己半徑
[026-37a]
線則成丙巳庚三角形其丙庚巳角為
六十度丙巳庚角為九十度庚丙巳角
為三十度又自甲至己作甲己線為圜
内容六等邊形之每一邊則又成甲己
庚甲己丙兩三角形其甲己庚三角形
之甲己庚角為六十度故甲己丙三角
形之甲己丙角為三十度而甲丙己角
亦為三十度則丙甲與甲己皆與半徑
[026-37b]
等矣故丙庚即全徑為弦庚己即半徑
為勾求得丙己股倍之得丙丁為圜外
切三等邊形之每一邊也又丙甲既與
半徑等則丙乙中垂線為半徑之三倍
用三角形求面積法算之而得圜外切
三等邊形之面積也
又法以全圜三百六十度三分之每分
得一百二十度折半得六十度乃以半
徑十萬為一率六十度之正切一十七
[026-37b]
萬三千二百零五為二率今所設之半
[026-38a]
徑六寸為三率求得四率一尺零三分
九釐二豪三絲倍之得二尺零七分八
釐四豪六絲為圜外切三等邊形之毎
一邊也既得三等邊形之每一邊乃以
半徑三因之與毎一邊之數相乘折半
得一尺八十七寸零六分一十四釐為
圜外切三等邊形之面積也如圖甲乙
圜徑一尺二寸外切丙丁戊三等邊形
[026-38b]
每一邊之弧皆一百二十度試將丙丁
邊折半於己自圜心庚作庚己半徑線
則甲己弧為六十度丙己即六十度之
正切丙丁即六十度正切之倍是故半
徑十萬與六十度之正切之比即如所
設之半徑六寸與丙己之半邊之比既
得半邊倍之即全邊也
又用求圜外各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
[026-38b]
為一率圜外切三等邊形之每一邊一
[026-39a]
七三二○五○八○為二率今所設之
圜徑一尺二寸為三率求得四率二尺
零七分八釐四豪六絲即圜外切三等
邊形之每一邊也
又用求圜外各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜外切三等
邊形之面積一二九九○三八一○為
[026-39b]
二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得
一尺四十四寸為三率求得四率一尺
八十七寸零六分一十四釐有餘即圜
外切三等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
外切三等邊形之面積一六五三九八
六六九為二率今所設之圜徑一尺二
寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
[026-39b]
七十三釐有餘為三率求得四率一尺
[026-40a]
八十七寸零六分一十四釐有餘即圜
外切三等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切四等邊形之每一邊及
面積幾何
法因圜徑一尺二寸即外切四等邊形
之毎一邊自乘得一尺四十四寸即圜
外切四等邊形之面積故他法皆不設
止存一題以備體焉
[026-40b]
設如圜徑一尺二寸求外切五等邊形之毎一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
為首率用連比例三率有首率求中率
之法求得中率三寸七分零八豪二絲
有餘倍之得七寸四分一釐六豪四絲
有餘為自圜心至外切五等邊形各角
之分角線乃以分角線為弦圜之半徑
為股求得勾四寸三分五釐九豪二絲
[026-40b]
四忽有餘倍之得八寸七分一釐八豪
[026-41a]
四絲八忽有餘為圜外切五等邊形之
每一邊爰以每一邊之八寸七分一釐
八豪四絲八忽有餘與半徑六寸相乘
得五十二寸三十一分零八釐有餘折
半得二十六寸一十五分五十四釐有
餘五因之得一尺三十寸七十七分七
十二釐有餘即圜外切五等邊形之面
積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙
[026-41b]
丁戊己庚五等邊形以辛乙半徑為首
率即理分中末/線之全分則自圜心至角之辛己
分角線為倍中率即倍理分中/末線之大分何以知
之試自丙角至戊己二角作丙戊丙己
兩角相對斜線成丙戊己三角形復自
戊角至庚角作戊庚兩角相對斜線截
丙己斜線於壬又成戊己壬三角形與
丙戊己三角形為同式形戊己壬三角/形之戊角當
巳庚邊與戊巳邊等故戊己壬三角形/之戊角與丙戊己三角形之丙角等又
[026-41b]
同用一巳角則其餘一/角亦必等故為同式形而丙戊為首率
[026-42a]
即理分中末/線之全分戊己為中率即理分中末/線之大分
己壬為末率即理分中末/線之小分丙壬亦與戊
己等為中率乃自壬至丙戊線作壬癸
垂線平分丙戊邊於癸遂成丙癸壬勾
股形與辛乙己勾股形為同式形辛乙/己勾
股形之辛角當乙己邊為戊己邊之半/故辛乙巳勾股之辛角與丙癸壬勾股
之丙角等癸角與乙角又同為直角/則其餘一角亦必等故為同式形夫
丙戊既為首率丙壬既為中率若以丙
[026-42b]
戊之半丙癸為首率則丙壬之半丙子
亦為中率而丙壬即為倍中率丙癸壬
勾股形與辛乙巳勾股形既為同式形
則辛乙己勾股形之辛乙股與辛己弦
之比必同於丙癸壬勾股形之丙癸股
與丙壬弦之比是以辛乙半徑為首率
則辛己分角線亦即為倍中率也既得
辛己分角線乃以辛己分角線為弦辛
乙半徑為股求得乙己勾倍之得戊己
[026-42b]
即圜外切五等邊形之毎一邊也又自
[026-43a]
圜心至各角作分角線即分五等邊形
為五三角形其辛乙中垂線即圜之半
徑故以所得圜外切五等邊形之每一
邊與半徑相乘折半得辛戊巳一三角
形之面積五倍之而得圜外切五等邊
形之總面積也
又法以全圜三百六十度五分之每分
得七十二度折半得三十六度乃以半
[026-43b]
徑十萬為一率三十六度之正切七萬
二千六百五十四為二率今所設之半
徑六寸為三率求得四率四寸三分五
釐九豪二絲四忽倍之得八寸七分一
釐八豪四絲八忽為圜外切五等邊形
之毎一邊既得五等邊形之毎一邊乃
以半徑與毎一邊之數相乘折半五因
之得一尺三十寸七十七分七十二釐
為圜外切五等邊形之面積也如圖甲
[026-43b]
乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚五
[026-44a]
等邊形每一邊之弧皆七十二度試將
丙丁邊折半於辛自圜心壬作壬辛半
徑線又作壬丙分角線割圜界於甲則
甲辛弧為三十六度丙辛即三十六度
之正切丙丁即三十六度正切之倍是
故半徑十萬與三十六度之正切之比
即如所設之半徑六寸與丙辛之半邊
之比既得半邊倍之即全邊也
[026-44b]
又用求圜外各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜外切五等邊形之每一邊七
二六五四二五二為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率八寸七
分一釐八豪五絲一忽有餘即圜外切
五等邊形之每一邊也
又用求圜外各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
[026-44b]
○○○○○○○為一率圜外切五等
[026-45a]
邊形之面積九○八一七八一六為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率一尺三
十寸七十七分七十六釐有餘即圜外
切五等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
外切五等邊形之面積一一五六三二
[026-45b]
八三四為二率今所設之圜徑一尺二
寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
七十三釐有餘為三率求得四率一尺
三十寸七十七分七十六釐即圜外切
五等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切六等邊形之每一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸
自乘得三十六寸三歸四因得四十八
[026-45b]
寸開方得六寸九分二釐八豪二絲有
[026-46a]
餘即圜外切六等邊形之毎一邊乃以
毎一邊之六寸九分二釐八豪二絲有
餘與半徑六寸相乘得四十一寸五十
六分九十二釐有餘折半得二十寸七
十八分四十六釐有餘六因之得一尺
二十四寸七十分七十六釐有餘即圜
外切六等邊形之面積也如圖甲乙圜
徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛六等
[026-46b]
邊形試自圜心至各角作分角線即分
六等邊形為六三角形其壬乙半徑即
每一三角形之中垂線而中垂線自乘
之方為每邊自乘之方之四分之三故
以半徑自乘三歸四因開方即得圜外
切六等邊形之每一邊也既得毎一邊
與半徑相乘折半得壬戊己一三角形
之面積六倍之而得圜外切六等邊形
之總面積也
[026-46b]
又法以全圜三百六十度六分之毎分
[026-47a]
得六十度折半得三十度乃以半徑十
萬為一率三十度之正切五萬七千七
百三十五為二率今所設之半徑六寸
為三率求得四率三寸四分六釐四豪
一絲倍之得六寸九分二釐八豪二絲
為圜外切六等邊形之毎一邊既得六
等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊
之數相乘折半六因之得一尺二十四
[026-47b]
寸七十分七十六釐為圜外切六等邊
形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸
外切丙丁戊己庚辛六等邊形毎一邊
之弧皆六十度試將丙丁邊折半於壬
自圜心癸作癸壬半徑線又作癸丙分
角線割圜界於子則子壬弧為三十度
丙壬即三十度之正切丙丁即三十度
正切之倍是故半徑十萬與三十度之
正切之比即如所設之半徑六寸與丙
[026-47b]
壬之半邊之比既得半邊倍之即全邊
[026-48a]
也
又用求圜外各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜外切六等邊形之每一邊五
七七三五○二七為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率六寸九
分二釐八豪二絲有餘即圜外切六等
邊形之毎一邊也
[026-48b]
又用求圜外各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜外切六等
邊形之面積八六六○二五四○為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率一尺二
十四寸七十分七十六釐有餘即圜外
切六等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
[026-48b]
面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-49a]
外切六等邊形之面積一一○二六五
七八一為二率今所設之圜徑一尺二
寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
七十三釐有餘為三率求得四率一尺
二十四寸七十分七十六釐有餘即圜
外切六等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切七等邊形之每一邊及
面積幾何
[026-49b]
法以圜徑一尺二寸求得内容七等邊
形之每一邊為五寸二分零六豪六絲
有餘又求得自圜心至每一邊之中垂
線為五寸四分零五豪八絲一忽有餘
乃以中垂線之數為一率每一邊之數
為二率今所設之半徑六寸為三率求
得四率五寸七分七釐八豪八絲九忽
有餘為圜外切七等邊形之每一邊爰
以每一邊之五寸七分七釐八豪八絲
[026-49b]
九忽有餘與半徑六寸相乘得三十四
[026-50a]
寸六十七分三十三釐有餘折半得一
十七寸三十三分六十六釐有餘七因
之得一尺二十一寸三十五分六十二
釐有餘即圜外切七等邊形之面積也
如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊
己庚辛壬七等邊形先求得圜内容七
等邊形之毎一邊為癸子又求得圜心
至每一邊之中垂線為丑寅以丑寅與
[026-50b]
癸子之比即同於丑乙與巳庚之比為
相當比例四率也又自圜心至各角作
分角線即分七等邊形為七三角形其
丑乙中垂線即圜之半徑故以所得圜
外切七等邊形之每一邊與半徑相乘
折半得丑己庚一三角形之面積七倍
之而得圜外切七等邊形之總面積也
又法以全圜三百六十度七分之每分
得五十一度二十五分四十二秒有餘
[026-50b]
折半得二十五度四十二分五十一秒
[026-51a]
有餘乃以半徑十萬為一率二十五度
四十二分五十一秒之正切四萬八千
一百五十七為二率今所設之半徑六
寸為三率求得四率二寸八分八釐九
毫四絲二忽有餘倍之得五寸七分七
釐八毫八絲四忽有餘為圜外切七等
邊形之每一邊既得七等邊形之每一
邊乃以半徑與每一邊之數相乘折半
[026-51b]
七因之得一尺二十一寸三十五分五
十六釐有餘為圜外切七等邊形之面
積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙
丁戊己庚辛壬七等邊形每一邊之弧
皆五十一度二十五分四十二秒有餘
試將丙丁邊折半於癸自圜心子作子
癸半徑線又作子丙分角線割圜界於
甲則甲癸弧為二十五度四十二分五
十一秒有餘丙癸即二十五度四十二
[026-51b]
分五十一秒有餘之正切丙丁即二十
[026-52a]
五度四十二分五十一秒有餘之正切
之倍是故半徑十萬與二十五度四十
二分五十一秒有餘之正切之比即如
所設之半徑六寸與丙癸之半邊之比
既得半邊倍之即全邊也
又用求圜外各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜外切七等邊形之毎一邊四
[026-52b]
八一五七四六二為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率五寸七
分七釐八豪八絲九忽有餘即圜外切
七等邊形之每一邊也
又用求圜外各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜外切七等
邊形之面積八四二七五五五八為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
[026-52b]
尺四十四寸為三率求得四率一尺二
[026-53a]
十一寸三十五分六十八釐有餘即圜
外切七等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
外切七等邊形之面積一○七三○二
九七四為二率今所設之圜徑一尺二
寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
七十三釐有餘為三率求得四率一尺
[026-53b]
二十一寸三十五分六十八釐有餘即
圜外切七等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切八等邊形之毎一邊及
面積幾何
法以圜徑一尺二寸自乘得一尺四十
四寸倍之得二尺八十八寸開方得一
尺六寸九分七釐零五絲六忽有餘内
減圜徑一尺二寸餘四寸九分七釐零
五絲六忽有餘即圜外切八等邊形之
[026-53b]
毎一邊乃以每一邊之四寸九分七釐
[026-54a]
零五絲六忽有餘與半徑六寸相乘得
二十九寸八十二分三十三釐有餘折
半得一十四寸九十一分一十六釐有
餘八因之得一尺一十九寸二十九分
二十八釐有餘即圜外切八等邊形之
面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切
丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形試依甲
乙圜徑度作子丑寅夘正方形又作子
[026-54b]
寅對角斜線於子寅對角斜線内減與
甲乙圜徑相等之辰己餘子辰巳寅兩
段即與圜外切八等邊形之丙丁一邊
相等也何則丙子丁勾股形因子寅斜
線平分為子辰丙子辰丁兩勾股形與
原形為同式形子辰丙勾股形之辰角/與丙子丁勾股形之子
角同為直角又同用一丙角/其餘一角必等故為同式形丙子既與
子丁等子辰必與丙辰等而為丙丁之
一半則子辰巳寅兩段亦必與丙丁一
[026-54b]
邊等故以圜徑自乘倍之開方而得對
[026-55a]
角斜線於斜線内減圜徑即圜外切八
等邊形之毎一邊也又自圜心至各角
作分角線即分八等邊形為八三角形
其午乙中垂線即圜之半徑故以所得
圜外切八等邊形之每一邊與半徑相
乘折半得午己庚一三角形之面積八
倍之而得圜外切八等邊形之總面積
也
[026-55b]
又法以全圜三百六十度八分之每分
得四十五度折半得二十二度三十分
乃以半徑十萬為一率二十二度三十
分之正切四萬一千四百二十一為二
率今所設之半徑六寸為三率求得四
率二寸四分八釐五豪二絲六忽倍之
得四寸九分七釐零五絲二忽為圜外
切八等邊形之毎一邊既得八等邊形
之每一邊乃以半徑與每一邊之數相
[026-55b]
乘折半八因之得一尺一十九寸二十
[026-56a]
九分二十四釐有餘為圜外切八等邊
形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸
外切丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形每
一邊之弧皆四十五度試將丙丁邊折
半於子自圜心五作丑子半徑線又作
丑丙分角線割圜界於寅則寅子弧為
二十二度三十分丙子即二十二度三
十分之正切丙丁即二十二度三十分
[026-56b]
之正切之倍是故半徑十萬與二十二
度三十分之正切之比即如所設之半
徑六寸與丙子之半邊之比既得半邊
倍之即全邊也
又用求圜外各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜外切八等邊形之毎一邊四
一四二一三五六為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率四寸九
[026-56b]
分七釐零五絲六忽有餘即圜外切八
[026-57a]
等邊形之毎一邊也
又用求圜外各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜外切八等
邊形之面積八二八四二七一二為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率一尺一
十九寸二十九分三十五釐有餘即圜
[026-57b]
外切八等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
外切八等邊形之面積一○五四七八
六一七為二率今所設之圜徑一尺二
寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
七十三釐有餘為三率求得四率一尺
一十九寸二十九分三十五釐有餘即
圜外切八等邊形之面積也
[026-57b]
設如圜徑一尺二寸求外切九等邊形之毎一邊及
[026-58a]
面積幾何
法以圜徑一尺二寸求得内容九等邊
形之毎一邊為四寸一分零四豪二絲
二忽有餘又求得自圜心至毎一邊之
中垂線為五寸六分三釐八豪一絲五
忽有餘乃以中垂線之數為一率毎一
邊之數為二率今所設之半徑六寸為
三率求得四率四寸三分六釐七豪六
[026-58b]
絲二忽有餘為圜外切九等邊形之毎
一邊爰以毎一邊之四寸三分六釐七
豪六絲二忽有餘與半徑六寸相乘得
二十六寸二十分五十七釐有餘折半
得一十三寸一十分二十八釐有餘九
因之得一尺一十七寸九十二分五十
七釐有餘即圜外切九等邊形之面積
也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁
戊己庚辛壬癸子九等邊形先求得圜
[026-58b]
内容九等邊形之每一邊為丑寅又求
[026-59a]
得圜心至每一邊之中垂線為夘辰以
卯辰與丑寅之比即同於卯乙與庚辛
之比為相當比例四率也又自圜心至
各角作分角線即分九等邊形為九三
角形其卯乙中垂線即圜之半徑故以
所得圜外切九等邊形之毎一邊與半
徑相乘折半得卯庚辛一三角形之面
積九倍之而得圜外切九等邊形之總
[026-59b]
面積也
又法以全圜三百六十度九分之毎分
得四十度折半得二十度乃以半徑十
萬為一率二十度之正切三萬六千三
百九十七為二率今所設之半徑六寸
為三率求得四率二寸一分八釐三豪
八絲二忽倍之得四寸三分六釐七豪
六絲四忽為圜外切九等邊形之每一
邊既得九等邊形之毎一邊乃以半徑
[026-59b]
與毎一邊之數相乘折半九因之得一
[026-60a]
尺一十七寸九十二分六十二釐有餘
為圜外切九等邊形之面積也如圖甲
乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛
壬癸子九等邊形每一邊之弧皆四十
度試將丙丁邊折半於丑自圜心寅作
寅丑半徑線又作寅丙分角線割圜界
於甲則甲丑弧為二十度丙丑即二十
度之正切丙丁即二十度之正切之倍
[026-60b]
是故半徑十萬與二十度之正切之比
即如所設之半徑六寸與丙丑之半邊
之比既得半邊倍之即全邊也
又用求圜外各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜外切九等邊形之每一邊三
六三九七○二四為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率四寸三
分六釐七豪六絲四忽有餘即圜外切
[026-60b]
九等邊形之每一邊也
[026-61a]
又用求圜外各形之面積之定率比例
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
○○○○○○○為一率圜外切九等
邊形之面積八一八九三三○三為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率一尺一
十七寸九十二分六十三釐有餘即圜
外切九等邊形之面積也
[026-61b]
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
外切九等邊形之面積一○四二六九
七九一為二率今所設之圜徑一尺二
寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
七十三釐有餘為三率求得四率一尺
一十七寸九十二分六十五釐有餘即
圜外切九等邊形之面積也
設如圜徑一尺二寸求外切十等邊形之每一邊及
[026-61b]
面積幾何
[026-62a]
法以圜徑一尺二寸求得内容十等邊
形之毎一邊為三寸七分零八豪二絲
有餘又求得自圜心至每一邊之中垂
線為五寸七分零六豪三絲三忽有餘
乃以中垂線之數為一率每一邊之數
為二率今所設之半徑六寸為三率求
得四率三寸八分九釐九豪零三忽有
餘為圜外切十等邊形之毎一邊爰以
[026-62b]
毎一邊之三寸八分九釐九豪零三忽
有餘與半徑六寸相乘得二十三寸三
十九分四十一釐有餘折半得一十一
寸六十九分七十釐有餘十因之得一
尺一十六寸九十七分一十二釐有餘
即圜外切十等邊形之面積也如圖甲
乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛
壬癸子丑十等邊形先求得圜内容十
等邊形之毎一邊為寅卯又求得圜心
[026-62b]
至每一邊之中垂線為辰巳以辰巳與
[026-63a]
寅卯之比即同於辰乙與庚辛之比為
相當比例四率也又自圜心至各角作
分角線即分十等邊形為十三角形其
辰乙中垂線即圜之半徑故以所得圜
外切十等邊形之每一邊與半徑相乘
折半得辰庚辛一三角形之面積十倍
之而得圜外切十等邊形之總面積也
又法以全圜三百六十度十分之每分
[026-63b]
得三十六度折半得十八度乃以半徑
十萬為一率十八度之正切三萬二千
四百九十二為二率今所設之半徑六
寸為三率求得四率一寸九分四釐九
豪五絲二忽倍之得三寸八分九釐九
豪零四忽為圜外切十等邊形之每一
邊既得十等邊形之毎一邊乃以半徑
與毎一邊之數相乘折半十因之得一
尺一十六寸九十七分一十二釐為圜
[026-63b]
外切十等邊形之面積也如圖甲乙圜
[026-64a]
徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛壬癸
子丑十等邊形毎一邊之弧皆三十六
度試將丙丁邊折半於寅自圜心卯作
卯寅半徑線又作卯丙分角線割圜界
於辰則辰寅弧為十八度丙寅即十八
度之正切丙丁即十八度之正切之倍
是故半徑十萬與十八度之正切之比
即如所設之半徑六寸與丙寅之半邊
[026-64b]
之比既得半邊倍之即全邊也
又用求圜外各形之一邊之定率比例
以定率之圜徑一○○○○○○○○
為一率圜外切十等邊形之每一邊三
二四九一九七○為二率今所設之圜
徑一尺二寸為三率求得四率三寸八
分九釐九豪零三忽有餘即圜外切十
等邊形之每一邊也
乂用求圜外各形之面積之定率比例
[026-64b]
以定率之圜徑自乘之正方面積一○
[026-65a]
○○○○○○○為一率圜外切十等
邊形之面積八一二二九九二四為二
率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一
尺四十四寸為三率求得四率一尺一
十六寸九十七分一十釐有餘即圜外
切十等邊形之面積也
又用圜面積之定率比例以定率之圜
面積一○○○○○○○○為一率圜
[026-65b]
外切十等邊形之面積一○三四二五
一五二為二率今所設之圜徑一尺二
寸求得圜面積一尺一十三寸零九分
七十三釐有餘為三率求得四率一尺
一十六寸九十七分一十釐有餘即圜
外切十等邊形之面積也
[026-65b]
御製數理精藴下編卷二十一
