[006-1a]
欽定四庫全書
測圓海鏡卷六
元 李冶 撰
大勾一十八問
或問乙從東門直行一十六步甲從乾隅東行三百二
十步望乙與城叅相直問答同前
法曰甲東行内減二之乙南行復以乘甲東行為實
四之東行内減二之乙東行為從四益隅得半徑
[006-1b]
草曰立天元一為半徑以二之加乙東行得□□為
中勾以中勾減於甲東行得□□為勾率也其天元
半徑即股率也置甲東行為大勾以股率乗之得□
合以勾率除之不受除便以此為大股内帶勾/率分母再置
天元以二之以勾率乗之得□□減於大股餘□□
為股圓差於上内有勾/率分母又以二之天元減甲東行得
□□為小差以乗上位得□□□為半段黄方冪内/有
勾率/分母寄左然後以天元自之又以勾率乘之又就分
[006-2a]
倍之得□□□為同數與左相消得□□□開平方
得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出東門南行三十步而立甲從乾隅東行三百
二十步望乙與城叅相直問答同前
法曰甲乙相乘為實甲東行為從二虚法得半徑
草曰識别具見大股第二問中立天元為半徑内減
乙南行得□□為虚股以乘通勾甲東行得□□為
半段城徑冪寄/左然後以天元自之又就分二之得□
[006-2b]
□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十
步倍之即城徑也合問
或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅東
行三百二十步望見乙問答同前
法曰以乙南行乘甲東行冪為實二之乙南行乘甲
東行為從方亷空二步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑以二之加於乙南行得□
□為股率以天元減甲東行得□□為勾率乃置乙
[006-3a]
南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此為
小勾此即半梯之頭内帶股/率分母又以勾率乘之得□□
□為半徑冪内𢃄股/率分母寄左乃以股率乘天元冪得□
□□為同數與左相消得□○□□開立方得一百
二十步倍之即城徑也合問
或問乙出南門東行七十二步甲從西北隅取直行三
百二十步見乙問答同前
法曰二行相乘為實以東行為從一步常法得半徑
[006-3b]
草曰立天元一為半城徑以減甲東行步得□□為
梯底以乙東行七十二步為梯頭以乘之得□□為
半徑冪寄/左然後以天元冪與左相消得丨□□以平
方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙從西南隅直東行一百九十二步甲從西北隅
直東行三百二十步望見乙問答同前
法曰二行步相乘為實二行相併為法得半徑
草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙東行得
[006-4a]
□□為梯頭於上下位減於甲東行得□□為梯底
以乘上位得丨□□為半徑冪寄/左然後以天元冪與
左相消得□□上法下實即半徑也合問
或問乙從坤隅直南行三百六十步而止甲從乾隅直
東行三百二十步望見乙問答同前
法曰二行步相乗倍之為實二之甲東行為從一步
常法得城徑
草曰立天元一以為城徑加一南行得□□為股二
[006-4b]
行步相併得六百八十步為弦甲東行為勾勾股相
乘得□□又倍之得□□為二直積寄/左然後以勾股
弦相併得□□為三事和以天元乘之得丨□為同
數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城
徑也合問
或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十
步望樹與城叅相直復就樹斜行一百七十步至樹
問答同前
[006-5a]
法曰兩段東行步冪内減兩段東行斜行相乗數為
實按或云倍東行步以/二行差東之亦同二之東行為從一益隅得城徑
草曰别得東行步即大勾斜行步即小弦也乃立天
元一為城徑減東行步得□□為勾圓差也今為/小勾置
東行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除
便以此為大弦内帶小/勾分母再置東行步以小勾乘之得
□□為大勾以減大弦得□□為大差合以小差乗
之縁内帶小/差分母更不湏乗便以此為半段黄方冪更無/分母
[006-5b]
又二之得□□為一段黄方冪寄/左然後以天元冪與
左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也
合問
依前問假令乙出東門南行不知步數而止甲從乾東
行三百二十步望乙與城相直復就乙斜行一百七
十步
法曰以甲東行乘二行差冪為實以甲東行乘二之
二行差為從方二之二行差為隅法得半徑
[006-6a]
草曰識别得二行相減餘一百五十即半城徑與乙
南行共數也得此數更不湏用斜立天元一為半徑
減於二行差得□□即半梯頭也又以二天元減甲
東行步得□□為勾率又以一百五十為股率乃置
甲東行以股率乘之得□合勾率除不除便以此為
大股内寄勾/率分母再置天元以勾率乘之得□□以減於
大股得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□
□為半徑冪也内帶勾/率分母寄左然後以勾率乘天元冪
[006-6b]
得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一
百二十步倍之即城徑也合問
或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十
步見樹復向樹斜行二百七十二步至樹問答同前
法曰二之二行差乘二之甲東行為實併二之二行
差及二之甲東行為從二步益隅得城徑
草曰别得二行相減餘四十八步即虚積之勾也立
天元一為城徑内減二之二行差得□□為梯頭於
[006-7a]
上置甲東行步以二之内減天元得□□為梯底以
乘上位得□□□為城徑冪寄/左然後以天元冪與左
相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合
問
或問甲從乾隅東行三百二十步而止乙出南門直行
不知步數望見甲復就甲斜行四百二十五步與甲
相㑹問答同前
法曰二行步相減以乘東行冪得數半之為實以半
[006-7b]
之東行步乗東行步於上二行步相減餘乗東行步
減上位為從二之東行步為益亷一步常法得半徑
草曰識别得二行相減是髙積上勾股較此勾即/半徑也又
别得是髙弦不及股圓差數乃立天元為半城徑以
減東行步得□□為中勾其斜行步即中弦也又置
半城徑以斜步乗之得□合以中勾除之不受除便
以此為髙弦内寄中/勾為母又以二行步相減餘一百五步
為髙弦不及股圓差數置此數以中勾乘之得□□
[006-8a]
加入髙弦得□□為大差於上内帶中/勾分母又倍天元減
東行步得□□為小差又半之得□□以乘上位得
□□□為半徑冪内有中/勾分母寄左乃以天元自乗又以
中勾乘之得□□□為同數與左相消得□□□□
以立方開得一百二十步倍之即城徑也合問
或問甲乙二人俱在乾隅乙直南行不知步數而立甲
直東行三百二十步望見乙復就乙斜行六百八十
步與乙相㑹問答同前
[006-8b]
法曰以二行差乘甲東行步又二之為實以二之二
行差為從一步常法得城徑
草曰别得二行步相減餘三百六十步即股圓差也
乃立天元一為圓徑以減於甲東行步得□□為小
差以東行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得
□□為一段城徑冪寄/左乃以天元冪與左相消得丨
□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問東門外不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十
[006-9a]
步望樹與城叅相直復就樹斜行一百三十六步至
樹問答同前
法曰倍二行相減數内減甲東行得數復以乘甲東
行為實按或云倍斜步以減甲東/行餘以甲東行乗之亦同倍二行差為從二
步虚常法得半徑
草曰識别得斜行步乃樹至城心步也立天元一為
半徑加斜行步得□□即樹至城西門之步也乃以
減於甲東行得下□□為小勾率其天元半徑即小
[006-9b]
股率其斜步即小弦數也再置甲東行步内減天元
得□□為梯底於上又置梯底内減二之小勾率得
□□按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元/減梯底之少一元反為多一元以三百六十八
步減梯底之三百二十/步反為少四十八步也以乘上位得□□□為半徑
冪乃以天元冪與左相消得下式□□□以平方開
之得一百二十步倍之即城徑也合問
或問南門外不知步數有槐一株甲從乾隅直東行至
柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行
[006-10a]
了七百四十五步乙從坤隅南行望見槐柳與城叅
相直復斜行至槐樹下乙自云我南行步多於斜行
步一百五步
按此問下有草無法今依細草補之
法曰置甲共步内減乙較步餘數折半自之再倍乙
較步乗之為立方實置上減餘折半數又減二之乙
較步復以減餘折半數乗之為從甲共步内減乙較
步為亷五分為負隅開立方得城徑
[006-10b]
草曰識别得一百五步是大差多於髙弦數又為髙
弦上勾股差數又别得是甲斜行多於東行數也乃
副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五
步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位減
一百五步而半之得三百二十步即甲東行也乃立
天元一為圓徑以半之減於甲東行步得□□為中
勾其甲斜行四百二十五步即中弦也再置天元以
半之為小勾以中弦乘之得□合以中勾除不除便
[006-11a]
以為髙弦於上内𢃄中/勾分母别置乙多步一百五步以中
勾乘之得□□為大差多於髙弦數也以加入上位
得下式□□為一个大差也置甲東行以天元減之
又倍之得□□為二个小差以乗大差得下□□□
為一段黄方冪内帶中/股分母寄左然後置天元冪丨□以
中勾通之得□□□與左相消得□□□□開立方
得二百四十步即城徑也合問
或問出東門直行不知步數有槐樹一株出南門東行
[006-11b]
不知步數有柳樹一株槐栁斜相距一百五十三步
甲從乾東行三百二十步望槐柳與城㕘相直問答
同前
法曰二行相乘訖又以乗甲東行冪為實斜行乗甲
東行冪又三之為從方甲東行冪内減兩段二行相
乘數為第一亷二之甲東行為益二亷二步常法開
三乗方得半徑
草曰立天元一為半徑以二之減於甲東行得□□
[006-12a]
為小差以自之得□□□加於甲東行冪復半之得
□□□為大弦内寄小/差分母又置斜相距步以大勾乘之
得□合大弦除不除便以此為小勾内𢃄大/弦分母乃以天
元減甲東行數得□□為半梯底以乘小勾半梯頭
得□□為半徑冪於上此半徑冪内有大弦分母此
大弦分母元𢃄小差分母故先用小差分母以乗上
半徑冪得□□□為半徑冪也内𢃄本大弦分母寄/左
然後以大弦乘天元冪得□□□□為同數與左相
[006-12b]
消得□□□□□開三乗方得一百二十步即半城
徑也合問
或問甲從乾隅東行三百二十步而止丙出東門南行
乙出東門直行各不知步數而立甲廻望乙丙悉與
城叅相直既而乙就丙斜行三十四步相㑹問答同
前
法曰甲東行再自之於上以二之斜行步乘甲東行
冪減上位為立方實兩段南行冪内減東行斜行相
[006-13a]
乘數為益從以甲東行加五按加五/即加半為從亷五分虚
隅得全徑
草曰立天元一為城徑以減於甲東行步得□□為
小差以自之得丨□□為小差冪也乃置甲東行冪
内加小差冪而半之得□□□為大弦也内帶小/差分母又
置甲東行冪乃減小差冪而半之得□□○為大股
也内帶小/差分母乃置斜行步在地以大股乘之得□□合
以大弦除之不除而又倍之得□□為梯頭也即兩/个小
[006-13b]
股内寄大弦/為母權寄乃置天元圓徑以半之以小差分母通
之得□□以減於大股餘得□又倍之得□為梯底
也即兩个邊股内/亦有小差分母以乘權寄得□□□為城徑冪也
内寄大弦及/小差分母寄左然後以天元自之為冪以大弦通
之又以小差通之得□□□□□為同數與左相消
得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問
依前問假令東門外有樹乙出東門南行不知步數而
立只云樹去城步/少於乙南行步甲從乾隅向東行三百二十步望
[006-14a]
乙與樹悉與城叅相直乙復就樹斜行三十四步到
樹問答同前
法曰甲東行自之又以斜步乘之為立方實置半段
甲東行冪於上以斜步乗甲東行減上位為從亷空
半步常法得勾圓差
草曰别得乙斜行即□弦也□弦得小勾股即大股
弦較也乃立天元一為勾圓差以自之為冪副之上
以加於甲東行冪而半之得□□□為大弦也寄小/差分
[006-14b]
母/下以減於甲東行冪而半之得□□□為大股也
寄小差/分母乃置斜步以大股乘之得□□□合大弦除
不除便以此為小股寄大弦/分母又置斜步以甲東行乗
之得□合大弦除不除便以此為小勾而又以通母
分通之得□為同分小勾也寄大弦/分母注大股乘時有/小差分母今
大勾無母故/又以齊同之又置斜步以大弦通之得□□□為同
分小弦也三位相併得□□為勾圓差也寄/左然後置
天元以大弦通之得□○□為同數與左相消得□
[006-15a]
○□□開立方得八十步即勾圓差也以勾圓差減
於甲東行步餘二百四十步即城徑也合問
或問南門外不知步數有樹甲從乾東行三百二十步
而立乙出西門便南行望樹及甲與城叅相直却就
樹斜行二百五十五步至樹問答同前
法曰二行相乘於上以半之甲東行乗之為實二行
相乘於上又半之甲東行以乘甲東行加上位為益
從甲東行為從亷一步虚法開立方得半徑
[006-15b]
草曰立天元一為半徑便以為小勾其斜行即小弦
也乃以甲東行為大勾以小弦乘之復以天元除之
得□□即大弦也又倍天元減東行餘□□為小差
以減大弦餘□□□為大股也又倍天元以減股餘
□□為大差也却以半小差□□乗之得下式□□
□為半徑冪寄/左乃以天元冪與左相消得丨□□□
開立方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數
[006-16a]
有柳樹一株槐柳相距二百八十九步甲從乾東行
三百二十步斜望槐柳與城叅相直問答同前
法曰二行相乗得數又自增乘為實斜行冪乘甲東
行又倍之為益從兩行相乘又倍之為益亷二之斜
步為第二亷二步常法開三乘方得栁至城心步
草曰别得柳至城心步即甲立處柳樹步也立天元
一為柳至城心步加斜步得□□為底弦以天元乘
之得丨□○合斜步除不除便以此為底勾寄斜步/分母
[006-16b]
乃再置通勾以斜步乘之得□為帶母通勾内減底
勾餘□□□為半徑以自之得丨□□□□為半徑
冪内帶斜步冪分母寄/左乃以天元減斜步得□□為
明弦以天元乘之得□□合斜步除不除便以此為
半梯頭寄斜步/為母復以底勾半梯底乘之得□□□□
為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一百
三十六步即柳至城心步也合問
或問甲從乾隅東行三百二十步而立乙出城東行丙
[006-17a]
出城南行三人相望俱與城相直乙丙共行了一百五
十一步問答同前
法曰以甲東行為冪折半又以自之為三乘方實倍
共步加甲東行以乗半段甲行冪為從方甲行乗共
數為從亷甲東行加五為第二益亷二分五釐常法
得小差
草曰别得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一
為小差以自之副置二位上位減於甲東行冪以天
[006-17b]
元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行冪
以天元除之又折半得□○□為大弦也其甲東行
即大勾也併大勾大股得□□□即大和也再立天
元以減甲東行步得□□即圓徑也以圓徑加共行
步得□□即皇極和也即小和又為髙/弦平弦共數又倍之得□
□即黄長弦黄廣弦共也内減大弦得下式□□□
為皇極内小黄方也亦為/虚弦再置大和□□□以小黄
方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便
[006-18a]
以為城徑内寄小和為母寄/左然後天元減甲東行得
□□為大黄方以小和乘之得丨□□為同數與左
相消得□□□□□開三乗方得八十步即小差也
以小差減甲東行餘二百四十步即城徑也合問
或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立
甲從乾隅東行三百二十步望乙丙悉與城㕘相直
乙就丙斜行一百二步相㑹問答同前
法曰甲東行自之於上倍斜行步乘之為立方實倍
[006-18b]
斜行步乘甲東行於上加兩段甲東行冪為從四之
甲東行為益亷四為隅法得半城徑
草曰别得斜步即虛弦減於全徑即小和也乃立天
元一為半徑以二之減於甲東行得□□為小差也
以自之得□□□為小差冪也置甲東行冪内加小
差冪而半之得下□□□為大弦内帶小/差分母置甲東行
冪内減小差冪而半之得□□為大股也内亦帶小
差為母又以小差乘大勾得□□併入大股得□□
[006-19a]
□為大和也帶小/差母乃先以小弦乗大和得下□□□
寄左次以斜步減於二天元得□□為小和以乗大
弦得下式□□□□為同數與左相消得□□□□
開立方得一百二十步即半城徑也合問
依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步
數而立只云丙行多/於乙行步甲從乾隅東行三百二十步望
乙丙與城㕘相直其乙丙共行一百二步問答同前
法曰倍共步以乗甲東行冪為立方實共步乗甲東
[006-19b]
行於上又以甲東行自之加上位為益從甲東行為
從亷五分隅常法得城徑
草曰别得共步便為小弦得小勾小股即與圓徑同
立天元為城徑以減乙東行得□□為小差以自之
得□□□為小差冪也乃置甲東行以自之為冪副
之上以加小差冪而半之得□□□為大弦也内寄/小差
分/母下以減小差冪而半之得□□○為大股也内寄/小差
分/母乃置共步在地以大股乘之得□□合大弦除不
[006-20a]
除便以此為小股也寄大弦/分母又置共步以甲東行乘
之得□合以大弦除不除便以此為小勾而又以元
分母小差乘之得□□為同分小勾只寄大/弦分母注其大/弦内
元帶小差分母其大勾内却無分母故/母故今復以小差通之齊同其分母也又置共步以
大弦通之得□□□同分小弦也三位相併得□□
為城徑也内有大/弦分母寄左然後置天元城徑□以大弦
分母通之得□□□○為同數與左相消得□□□
□開立方得二百四十步即城徑也合問
[006-20b]
測圓海鏡卷六