KR3f0016 圜容較義-明-李之藻 (master)


[001-1a]
欽定四庫全書
 圜容較義
            明 李之藻 撰
萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界
顯界從線結總曰邊線邊線之最少者為三邊形多者
四邊五邊乃至千萬億邊不可數盡也三邊形等度者
其容積固大於三邊形不等度者四邊以上亦然而四
邊形容積恒大於三邊形多邊形容積恒大於少邊形
[001-1b]
恒以周線相等者驗之邊之多者莫如渾圜之體渾圜
者多邊等邊試以周天度剖之則三百六十邉等也又
剖度為分則二萬一千六百邊等也乃至秒忽毫釐不
可勝算凡形愈多邊則愈大故造物者天也象天者圜
也圜故無不容無不容所以為天試論其槩
凡兩形外周等則多邊形容積恒大於少邊形容積
假如有甲乙丙三角形其邊最少就底線乙丙兩平分
於丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲
[001-2a]
      丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙
      丙之垂線幾何原本/一卷八次作甲戊丙丁直
      角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁
      平行視前形增一角者一卷四又/三十六既甲
丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等一卷三/十四
則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論
之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邊皆與乙丁相等甲丙邊
為弦其線稍長試引丙戊至已引丁甲至庚皆與甲丙
[001-2b]
甲丁線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則
贏一甲庚己戊形故知四邊形與三邊形等周者四邊
形容積必大于三邊形
凡同周四直角形其等邊者所容大於不等邊者
     假有直角形等邊者每邊六共二十四其
     中積三十六另有直角形不等邊者兩邊
     數十兩邊數二其周亦二十四與前形等
     周而其邊不等故中積只二十又設直角
[001-3a]
     形其兩邊各九其兩邊各三亦與前形同
     周而中積二十七又設一形兩邊各八兩
     邊各四亦與前同周而中積三十二或設
     以兩邊為七以兩邊為五亦與前同周而
     中積三十五是知邊度漸相等則容積固
     漸多也
        試作直角長方形令中積三十六
        同前形之積然周得三十與前周
[001-3b]
二十四者逈異令以此周作四邊等形則中積必大於
前形
凡同周四角形其等邊等角者所容大於不等邊等角
      者設甲乙丙丁不等角形從丙丁各作
      垂線又設引甲乙至己作戊丙己丁四
      角相等形一卷三/十五與不等角形同底原
      相等一卷十九/又三十四甲乙亦同戊己而乙丁
及甲丙線則贏於己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大於
[001-4a]
戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚
與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯
四等角形大於不等角形
 以上四則見方形大於長形而多邊形更大於少邊
 形則圜形更大於多邊形此其大略若詳論之則另
 立五界說及諸形十八論於左
第一界等周形 謂兩形之周大小等
第二界有法形 謂不拘三邊四邊及多邊但邊邊相
[001-4b]
        等角角相等即為有法其欹邪不就
        規矩者為無法形
第三界求各形心 但從心作圜或形内切圜或形外切
        圜皆相等者即係圜與形同心
第四界求形面  謂周線内所容人目所見乃形之一
        面
第五界求形體  如立方立圜三乘四乘諸形乃形之
        全體
[001-5a]
 第一題
凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊高以中分線
及高線作矩内直角方形必與三角形所容等
      解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁
      于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及
      辛庚己丙直角題言直角與三角形
      等
      先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁
[001-5b]
      作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平
      行又作己丙戊乙二線成直角形此直
      角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙
      丙角形一卷四/十一故甲乙丙三角形與甲
      丁丙己形等一卷三/十六
      次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲
      乙之平分第三圖甲在方形之外皆從
      甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊
[001-6a]
      己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以
      丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為
      平行亦相等一卷三/十四其戊己丙乙倍大
于辛庚丙己亦即倍大于三角形何者以辛庚丙己長
方形分三角形底線半故一卷三/十六
 第二題
凡有法六角等形自中心到其一邊之半徑線作直角
形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩内直
[001-6b]
角長方形亦與有法形所容等
解曰有甲乙丙丁戊己有法形其心庚自庚至甲乙作直
        角線為庚辛另作壬癸線與庚辛
        等作癸子與甲乙丙丁線等即半
        周線也題言壬癸子丑直角形與
        甲乙丙丁戊己形之所容等
        論曰自庚到各角皆作直線皆分
        作三角形皆相等一卷/八其甲乙庚
[001-7a]
        三角形與甲辛辛庚二線所作矩
        内直角形等以甲辛分甲乙之/半故本篇一題
        以甲乙丙丁半形之周線為癸子
        線以與壬癸線共作矩内直角形
        即與有法全形等葢此半邊三箇
        三角形照甲乙庚形作分中垂線
        其矩線内直角形俱倍本三角形

[001-7b]
 第三題
凡有法直線形與直角三邉形並設直角形傍二線一
長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形
周線等則有法形與三邉形正等
解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有
丁戊己直角形其邊丁戊與法形丁戊有等其戊己線又
與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙
全形等
[001-8a]
        論曰試作丁戊己庚直角形兩平
        分于壬辛作直線與丁戊平行則
        丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相
        等本篇/二題何者戊辛線得甲乙丙之
        半周而又在丁戊矩内即與有法
        形全體等故也其丁戊己三角形
        與丁戊壬辛直角形等則丁戊巳
三角形與甲乙丙全形亦等
[001-8b]
 第四題
凡圜取半徑線及半周線作矩内直角形其體等
        解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙
        又有丁乙戊巳直角形兩丁乙等
        之半圜線與戊乙等題言甲乙丙
        所容與丁乙戊巳直角形所容等
        論曰試以乙戊引長到庚令庚戊
        與乙戊等則乙庚與圜周全等次
[001-9a]
從丁望庚作直線既丁乙庚三角形之地與全圜地相
在圜書/一題而丁乙戊巳又與丁乙庚三角形等本篇四/又一卷
四十/註則丁乙戊巳自與全圜體等
 第五題
凡直角三邊形任將一銳角于對邊作一直線分之其
對邊線之全與近直角之分之比例大於全銳角與所
分内銳角之比例
解曰有甲乙丙直角三邊形丙為直角從甲銳角望所
[001-9b]
     對丙乙邊任作甲丁線題言丙乙線與丙
     丁線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角
     之比例
     論曰甲丁線大於甲丙而小於甲乙一卷/十九
     若以甲為心以丁為界作半規必分甲己
     線于乙之内而透甲戊線于丙之外其甲
乙丁三角形與甲己丁三角形之比例大於甲丁丙三
角形與甲丁戊之比例何者一為甲乙丁大形與甲己
[001-10a]
丁小形比一為甲丁丙小形與甲丁戊大形比也則更
之乙甲丁形與丁甲丙形之比例大於己甲丁形與丁
甲戊形之比例五卷二/十七合之則乙甲丙形與丁甲丙形
即是乙丁線與丁丙線之比例形之比例與底線之/比例相等在六卷
大於甲己戊形與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與
甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比
六卷三/十三系則乙丙線與丁丙線之比例大於乙甲丙角
與丁甲丙角之比例也
[001-10b]
 第六題
凡直線有法形數端但周相等者多邊形必大於少邊

解曰設直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周等
           而甲乙丙形之邊多于丁
           戊己不拘四邊六邊雖十/邊與十一二邊皆同
           此/論題言甲乙丙之體大于
           丁戊己之體
[001-11a]
論曰試於兩形外各作一圜而從心望一邊作庚壬作
辛癸兩垂線平分乙丙于壬分戊己于癸三卷/三其甲乙
丙形多邊者與丁戊己形少邊者外周既等而以乙丙
求周六而徧以戊己求周四而徧則乙丙邊固小于戊
己邊而乙壬半線亦小于戊癸半邊矣兹截癸子與壬
乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次
第論之其己丁戊圜内各切線等即勻分各邊俱等而
全形邊所倍于戊己一邊數與全圜切分所倍于戊己
[001-11b]
     切分地亦等則甲乙丙内形全邊所倍
     于乙丙一邊與其全圜切分所倍于乙
     丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊
     丁己全圜之切分若戊辛己角之與全
     形四直角六卷三十/三題之系則以平理推之移
     戊己邊于甲乙丙全邊亦若戊辛己角
     之於四直角也而甲乙丙内形周與乙
丙一邊猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四
[001-12a]
直角之與庚乙丙角也六卷三十/三之二系則又以平理推戊己
與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推
而戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也
五卷/十五夫戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛
癸角之比例本篇/五則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸
辛戊與癸辛子之比例五卷/十三而癸辛子角大于壬庚乙
五卷/十其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角明
小于庚乙壬角一卷三/十二令移壬乙庚角于癸子上而作
[001-12b]
      癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚
      壬乙三角形之壬與乙兩角等于丑癸
      子三角形之癸子兩角而乙壬邊亦等
      于子癸邊則丑癸線亦等于庚壬線而
      庚壬實贏于辛癸一卷二/十六令取庚壬線
      及甲乙丙半周線作矩内直角形必大
      於辛癸線及丁戊己半周線所作矩内
直角形也本篇/二然則多邉直線形之所容豈不大于等
[001-13a]
周少邊直線形之所容乎
 第七題
有三角形其邉不等于一邊之上另作兩邊等三角形
與先形等周
      解曰有甲乙丙三角形其甲乙大於丙乙兩邊
      不等欲於甲丙上另作三角形與甲乙丙周等
      兩邊又等其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等
      兩平分於己甲乙乙丙兩邊併既大于甲丙邊
[001-13b]
      一卷/十則丁己己戊兩邊併亦大于甲丙
      而丁己己戊甲丙可作三角形矣一卷/三十
      二/以作甲庚丙得所求葢庚甲庚丙自
      相等而甲丙同邊則二形之周等而甲
庚丙與甲乙丙為兩邊等之三角形此庚㸃必在甲乙/線外若在甲乙邉
上過辛則辛丙線小于辛/乙乙丙合線即不得同周
 第八題
有三角形二等周等底其一兩邊等其一兩邊不等其
[001-14a]
等邊所容必多於不等邉所容
       解曰有甲乙丙形其甲乙邊大於乙
       丙令於甲丙上更作甲丁丙三角形
       與甲乙丙等周本篇/上而丁甲丁丙兩
腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形大於甲
乙丙
論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又
作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即大於
[001-14b]
甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率者令減
一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁
乙兩邊與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邊等其乙戊
底大於乙丙底則戊丁乙角大於丙丁乙角而戊丁乙
角踰戊丁丙角之半一卷三/十二令别作戊丁己角與丁甲
丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行一卷/廿八
令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線聨之其甲丁丙
甲己丙既在兩平行之内又同底是三角形相等也六/卷
[001-15a]
       一/因顯甲己丙大於甲乙丙而甲丁
       丙兩邊等三角形必大於等周之甲
       乙丙矣問戊丁乙角何以踰戊丁丙/角之半曰丁甲丙與丁丙甲
兩角等而戊丁丙為其外角/凡外角必兼兩内角故也
 第九題
相似直角三邊形併對直角之兩弦線為一直線以作
直角方形又以兩相當之直線四併二直線各作直角
方形其容等
[001-15b]
     解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似
     其乙戊兩角為直角而甲與丁丙與己角
     各相等甲丙與丁己相當甲乙與丁戊相
     當題言併甲丙丁己為一直線於上作直
     角方形與併甲乙丁戊作直線及併乙丙
     戊己作直線各於其上作直角方形兩併

論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度次從庚作線
[001-16a]
與戊己平行又引丁己長之令相遇于辛從己作己壬
線與戊庚平行一卷二/十九則巳壬辛之角形與丁戊巳相
似而丁戊巳與甲乙丙相似矣一卷三/十二何者巳壬辛角
與庚角等庚角與丁戊巳角等己角又與乙角等而辛
角與丁巳戊角及丙角俱等壬巳辛角與甲角亦等一/卷
      三十/四又巳壬邊與戊庚相等則亦與甲
      乙相等而壬辛與乙丙巳辛與甲丙俱
      相等一卷二/十六故丁辛線兼丁巳甲丙之
[001-16b]
      度丁庚線兼丁戊甲乙之度而庚辛亦
      兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也一卷/三十
      四/然則丁辛上直角方形與丁庚及庚
辛上兩直角方形併自相等矣
 第十題
有三角形二其底不等而腰等求於兩底上另作相似
三角形二而等周其兩腰各自相等
解曰甲乙丙丁不等兩底上有甲戊乙及丙己丁三角
[001-17a]
     形二其戊甲戊乙腰與巳丙巳丁腰俱相
     等若甲乙大於丙丁者則戊角大於己角
     一卷二/十五而兩三角形不相似求於兩底上
     各作三角形相似而兩腰各相等其周亦
     等
     法曰作庚辛線與甲戊戊乙丙己己丁四
線等而分之于壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙
六卷/十甲乙既大于丙丁則庚壬亦大於壬辛而平分
[001-17b]
庚壬于癸平分壬辛於子庚壬與壬辛既若甲乙與丙
丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁併之視丙丁
     矣五卷/一夫庚辛併既大于甲乙丙丁併兩/邊
     必大于一邊/在一卷二十則壬辛大于丙丁而庚壬大
     於甲乙也五卷/十四甲乙庚癸癸壬三線每二
     線必大於一線而丙丁壬子子辛亦然令
     於甲乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角
     形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外以/戊
[001-18a]
甲戊乙得庚辛之半/而庚壬之度過之故於丙丁上用壬子子辛線作丙寅
丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之内己丙己丁/亦得庚壬
之半而壬辛之度不/及故俱一卷二十二
論曰併甲戊戊乙丙己己丁四線之度既與併甲丑丑
乙丙己己丁四線之度相等則甲丑乙丙寅丁兩形自
與甲戊乙丙己丁兩形同周而其兩腰亦自相同至於
兩形相似何也甲乙與丙丁若庚壬與壬辛而減半之
庚壬與壬子五卷/十五又若丑甲與寅丙丑乙與寅丁也則
[001-18b]
更之而甲乙與甲丑若丙丁與丙寅而甲丑與丑乙若
丙寅與寅丁是兩形為同邊之比例自相似六卷/五
 第十一題
有大小兩底令作相似平腰三角形相併其所容必大
于不相似之兩三角形相併其底同其周同又四腰俱
同而不相似形併必小於相似形併
解曰甲丙丙戊兩底上設有甲乙丙及丙丁戊兩三角
形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令於兩底上依前
[001-19a]
        題别作甲己丙及丙庚戊兩形相
        似而與前兩三角形相併者等周
        題言甲己丙丙庚戊併大於甲乙
        丙丙丁戊併
        論曰將甲丙丙戊作一直線而甲
        丙底大於丙戊底乃從已過乙作
己壬線兩分甲丙于壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙
戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邊與乙己丙
[001-19b]
三角形之己丙己乙兩邊等而甲乙乙丙兩底又等則
甲己乙角與丙己乙角亦等一卷/八又甲巳壬三角形之
甲巳巳壬兩邊與丙巳壬三角形之丙巳巳壬兩邊等
則甲巳壬角與丙巳壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等
一卷/四壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左
右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而
從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙
兩邊與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邊等而辛之上
[001-20a]
下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸
丙辛角俱等一卷/四丁丙辛角既大於庚丙辛角而庚丙
辛角相似與巳丙壬角即相等一卷/五而丁丙辛即癸丙
辛總大於巳丙壬其癸丙辛角等於對角之丑丙壬一/卷
十/五是丑丙壬亦大於巳丙壬而引癸丑線當在于丙巳
之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸
乙線以分壬丙于子而併乙丙丙癸二線必大於癸乙
一卷/二十則巳丙丙庚併亦大於乙癸線何也此四形者兩
[001-20b]
        兩相併為等周則甲乙乙丙丙丁
        丁戊四線併與甲巳巳丙丙庚庚
        戊四線併原相等而減半之乙丙
        丙丁即乙丙丙癸與巳丙丙庚亦
        相等故也併巳丙丙庚二線為一
        直線就其上作直角方形必大于
乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚併之直角方形與
己壬庚辛併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形
[001-21a]
併相等九/題而癸乙上之直角方形與乙壬併辛丁即辛/癸
上直角方形及壬子子辛上直角方形併又自相等九/題
從子上分兩對角其角等而壬與辛俱為直角相似之/形令移置辛癸與乙壬之下移置壬辛為癸垂線則乙
壬辛癸為股壬辛/為句乙癸為弦矣此己壬庚辛線併之直角方形及壬
丙丙辛上之直角方形併明大于乙壬丁辛併之直角
方形及壬子子辛上之直角方形併也此兩率者每減
一壬辛上直角方形則巳壬庚辛共線上之直角方形
大于乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線
[001-21b]
       併大於乙壬丁辛兩線併矣此兩率
       者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈
       不大于丁庚乎壬丙原大於丙辛以/甲
       丙原大于/丙戊故則己乙與壬丙矩内直角
       形大于丁庚與辛丙矩内直角形而
乙己丙三角形為己乙壬丙矩内直角形之半何者令
從壬丙作垂線與乙己平行而以乙己為底就作直角
形此謂己乙壬丙矩内直角形其中積倍于己乙丙三
[001-22a]
角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁
庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也
則己乙丙三角形大於丁庚丙三角形而甲己丙乙甲
形為丙乙己三角之倍者亦大於丙庚戊丙形為丁庚
丙三角之倍者矣此兩率者又每加甲乙丙與丙庚戊
之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形併豈不大
于甲乙丙及丙丁戊之兩三角形併哉
 第十二題
[001-22b]
同周形其邊數相等而等角等邊者大於不等角等邊

      先解曰有甲乙丙丁戊己多邊形與他
      形同周同角者較必邊邊相等乃為最
      大之形
論曰若謂不然先設甲乙乙丙不等邊如第一圖又作
甲丙線于上作等邊三角為甲庚丙形與甲乙丙等周
本篇/七則甲庚丙丁戊己形亦與甲乙丙丁戊己形等周
[001-23a]
而甲庚丙三角形必大於甲乙丙三角形本篇/八令每加
丙丁戊己角形則甲庚丙丁戊己形亦大於甲乙丙丁
戊己形故知不等邊者不為最大其他如丙丁邊之類
或不等者亦如此推
      次解曰又設甲乙丙丁戊己等邊形與
      他形同周同邊者較必角角相等乃為
      最大之形
論曰依上論各邊俱等則甲乙丙丙丁戊為等邊三角
[001-23b]
邊角/俱等而甲乙乙丙與丙丁丁戊相等若謂不然而
乙角可大于丁角則甲丙線必大于丙戊線一卷二/十四
於甲丙丙戊兩底上别作三角形為甲庚丙為丙辛戊
如第十題相似形令與甲乙丙丙丁戊併者等周則甲
庚丙併丙辛戊者大於甲乙丙併丙丁戊本篇/十一而每加
丙戊己角形則甲庚丙辛戊己必大於甲乙丙丁戊己
也何得以等周等邊而不等角者為最大乎
 第十三題
[001-24a]
凡同周形惟圜形者大於衆直線形有法者
解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邊有法形其周等
     題言甲乙丙大於丁戊己
     論曰庚為甲乙丙之心辛為丁戊己之心
     甲乙丙外另作壬乙丙癸多邊形與丁戊
     己相似四卷十/六註而從壬癸切圜于甲者作
     半徑線于庚則庚甲為壬癸垂線而分壬
     癸之半三卷/十八又從辛作子丑垂線則辛丁
[001-24b]
     亦分子丑之半三卷三設于兩多邊形外/作切形圜而以壬癸子丑
     為切圜線向心作垂線則垂線必/分切線之中央故説在四卷十二兩形相
     似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚
     角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛
     直角亦等一卷三/十二然乙壬癸丙之周大於圜
     周而圜周與丁戊己形相同則是乙壬癸丙
周原大於丁戊己周矣夫兩形相似而壬癸邊大于子
丑邊則半之而壬甲亦大于子丁又壬甲與甲庚若子
[001-25a]
丁與丁辛之比例六卷/四而壬甲大於子丁則甲庚亦大
於丁辛五卷/十四是故取甲庚線與半圜周線以作矩内直
角形其與圜地等也大於取丁辛線與丁戊己半周線
以作矩内直角形其與形地等也本篇/四系曰推此見圜
形大於各等周直線形第五題証有法形同周者多邉/為大又十二題証等周及邊數
之等者有法為大又本題証等周之有法/形惟圜為大則圜為凡形等周者之最大
 第十四題
銳觚全形所容與銳頂至邊垂線及三分底之一矩内
[001-25b]
直角立形等
      解曰有觚形不拘幾面如甲乙丙丁戊
      底其頂己又有寅庚直角立方形者其
      底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一
      其髙庚子與觚等髙題言此寅庚形與
      觚形所容等
      論曰從立形底諸角與相對一角如子
      角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此
[001-26a]
形與寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形
兼庚辛壬癸子觚之三十二卷六註言兩觚形同髙者/其所容之比例如其底底等亦
等底倍/亦倍寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三以同㡳同/髙故在十
二卷/七系則寅庚全方與己甲觚等
 第十五題
平面不拘幾邊其全體可容渾圜切形者設直角立形
其底得本形三之一其髙得圜半徑即相等可容渾圜/&KR0704形者必
圜形與諸面相切若長廣/不切諸面者不在此論
[001-26b]
     解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其
     心壬而外線甲乙切圜于戊十一卷/三題試從
     戊壬割圜之半作戊己庚辛圜圜形書一/卷一題
     從壬心望各切圜之㸃作壬戊為甲乙垂
     線三卷/十八壬己為乙丙垂線壬庚為丙丁垂
     線壬辛為甲丁垂線别一直角立方形午
     子其底子丑寅癸得甲乙丙丁體三之一
     而其髙辰子與圜半徑等題言此直角立
[001-27a]
     方形與甲乙丙丁全體等
     論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即
     分其體為數觚形其面即為觚底而皆以
     壬心為觚銳頂此各觚皆以其三分底之
     一及至銳髙之數為直角立方形皆與觚
     所容等本篇/十四又併為一形即與甲乙丙丁
     體等亦與午子等以午子底正得甲乙全
     形三之一而其髙合圜半徑也
[001-27b]
 第十六題
圜半徑及圜面三之一作直角立方形以較圜之所容等
      解曰有甲乙丙渾圜其心為丁又有直
      角立形之戊在甲丁徑及甲乙丁渾圜
      三之一矩内題言戊形所容與甲乙丙
      渾圜等
      論曰若言不等謂戊大於渾圜形其較
      有己者合以丁為心外作庚辛壬渾圜
[001-28a]
      大於甲乙丙而勿令大於戊第令或等
      或小以驗之而於庚辛壬内試作有法
      形勿切甲乙丙圜十二卷/十七自丁心至形
      邊各作垂線則垂線必長于甲丁又自
      丁心至形各角作直線以分此形為幾
      觚其庚辛壬法形諸直線為觚底而垂
線至丁心為觚銳頂試取各觚底三之一及丁垂線之
髙以作直角立形與觚等本篇/十四則併為大直角立形亦
[001-28b]
與庚辛壬内之法形等本篇/十五如云以甲丁為髙而以各
觚底三之一為直角立形併為大形則必小於前形因
顯庚辛壬三之一大於甲乙丙三之一而戊形甲丁徑
及甲乙丙圜三之一内小於庚辛壬體而謂庚辛壬不
大於戊形則向庚辛壬之内形尚大於戊形也又論曰
戊形小於甲乙丙渾圜體者其較為己試從丁心再作
癸子丑圜小於甲乙丙而勿令小於戊或大或等者以
驗之於甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑十二卷/十七
[001-29a]
而從丁至甲乙丙各面為垂線此垂線大於丁癸之半
徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數觚以形
之各面為觚底丁心為觚銳頂而取觚底三之一及底
至丁之垂線以作直角立形與觚等若使以甲丁為髙
而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必髙於
前形既甲乙丙圜之面大於其内形之面則圜面三之
一大於内形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲
乙丁面三之一固即戊體矣愈大于甲乙丁之内形矣
[001-29b]
而云癸子丑圜或等或大於戊豈癸子丑圜大於甲乙
丙圜而分大于全與則戊體不小於甲乙丙矣從後論
不可為小從前論不可為大故曰等也
 第十七題
圜形與平面他形之容圜者其周同其容積圜為大
        解曰有甲圜其心甲其半徑甲乙
        又丙形與甲等周其周内可作諸
        切邊圜形而從心至邊為丙丁題
[001-30a]
言甲圜大於丙形
論曰甲圜外試作與丙相似形十二/卷而從甲心至各邊
切處作半徑垂線皆等本篇十/五有解其一為甲乙甲圜外形
大於甲圜其周面亦大於丙面而甲乙垂線亦大于丁
丙垂線以甲半徑為髙乃以三分圜體之一作直角立
方形即與甲圜形等本篇/十六以丙丁線為髙而以三分丙
形之一作直角立方形亦與丙形等而甲之立方固大
於丙之立方本篇/十五則甲圜與丙形雖同周而甲圜所容
[001-30b]
為大矣
 第十八題
凡渾圜形與圜外圜角形等周者渾圜形必大於圜角

解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四數
       相偶若八面十二面十六面二十面
       及二十四二十八之類等邊等角近
       于圜形者又作戊壬過心線為樞以
[001-31a]
       轉甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平
       面旋為立圜之體則其形為圜外圜
       角之形而角與邊周遭皆等圜書一/卷廿二
       廿/七又有渾圜形寅與圜角形等周題
言寅圜大于圜角形
論曰圜角外形既大於内之甲乙丙圜形則寅圜亦大
於甲乙丙圜寅圜之半徑亦大於甲乙丙圜之半徑也
夫渾圜中剖是為過心最大之圜此過心大圜之面恒
[001-31b]
得渾體四分之一圜書一卷/三十一題令倍寅徑以作卯辰徑其
圜面四倍大於寅之圜面此專以圜而相較也卯辰徑/既倍寅徑則卯辰圜□四倍
於寅圜以圜與圜為徑與徑再加/之比例故也在六卷附一增題則卯辰圜與寅渾圜
此卯辰圜為欲見角故/畫作扁圜實正圜也次作未申圜與卯辰等作未
面申圜角形而取寅半徑為酉戌之髙又於卯辰上亦
作卯巳辰圜角形而取甲乙丙圜半徑為己午之髙兩
圜體等而未酉申圜角形髙於卯巳辰圜角形則亦大
於卯巳辰圜角形圜角形同底之比例若其髙/之比例在十二卷十四題夫割寅
[001-32a]
       渾圜之中半以為底即過心/大圜也而以其
       半徑之髙為圜角形恒得寅渾圜四
       分之一此旋摶所成尖頂半圜形非/只論其一面也在圜書一卷
       三十/二則是一寅圜恒兼四圜角之形
       而未申圜原四倍大於寅圜則未酉
       申圜角形固與寅之渾圜形等矣圜/角
       形同髙之比例若其㡳之比/例故也在十二卷十一題其卯巳
辰圜角形底原等戊己庚形之面戊己庚之面與/寅圜之面等故而巳
[001-32b]
午之髙亦等於甲圜半徑即戊己庚辛角形自與卯巳
辰圜角形等圜書一卷二十九題論凡圜外有圜角形/如甲乙丙外有戊己庚形者以圜體過心
大圜為底而以圜半徑為髙旋/作圜角形即與圜外諸圜角等卯巳辰圜角形既小於
未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形寧大於同周
之寅乎
 
 
 圜容較義