[006-1a] 
欽定四庫全書
九章録要卷六
松江屠文漪撰
少廣法
古九章四曰少廣以御積冪方員
開平方法 平方開除先列實視實有幾位凡實之大/數從千起
者四位從萬起者五位葢實尾雖止於十而無以下/小數亦存一虚位止於百而無以下小數亦存兩虚
位一定不/可易也即知須幾開而盡凡經再開者開得平方/大數從十起三開者百
[006-1b]
四開者千或實尾一開虚擬而未經開/者即開得數終於十而無以下小數也率實兩位而
一開逆從實尾向左數之尾在/右也至實首則一位亦一
開也其開之法有三曰方曰亷曰隅方法亦謂之商/意中商量而定
之也隅即次商三/商而又自有隅法初開視實首位以起方法實首一
位開者一位之實/多不過九取三及以下數自乗兩位開者兩/位
之實少不/下十一取三及以上數自乗所取以自乗之數初
商也列實首之左亦有不列於左而即借實/首位列之者説詳於後自乗所
得數用以減實是為初開餘實須再開則用亷法亷
[006-2a]
法者倍前方法以之除實得次商相隨列初商之右
即以次商為隅法自乗得數用減實訖於亷法下一/位減之觀後
假例/自明是為再開自三開以後俱倣此
或問亷隅之義曰初開已成平方形矣再開欲增廣/其前方則不必四邊俱加而但於兩邊各加一亷其
長如前方之數亷有二故倍之也此未及亷之廣以/除實得次商次商乃亷之廣數而所加二亷其長各
如前方之數則二亷相㑹之一角猶缺一小平方其/四邊皆與亷之廣等故又以次商為隅法而自乗以
足之/也
假如實一萬五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位
[006-2b]
此須三度開而實首只甲一位開也甲數一則取一
為初商列甲之左而以一自乗仍得一即於甲位去
一此初開也再開倍前方一得二前方是一百倍之/為二百而此且勿
論也但謂之一/謂之二可耳為亷法以二除乙之五乙丙兩位為/再開之位而
亷法當於乙位除隅/法當於丙位除也則於乙減四存一於甲空位列
二為次商而以隅二自乗得四於丙位減之則去乙
之一加丙一為七此再開也三開倍前方一十二得
二十四前方一下復有二則且謂之一十二矣/不計其為一百二十也雖更多亦然為亷
[006-3a]
法先以二除丙之七丁戊兩位為三開之位則亷法/當於丁位除而亷法有二十四
即二當於丙位除/四乃於丁位除也則於丙減六存一於乙空位列三
為三商次以四與三相乗得一十二於丙丁兩位減
之亷之四當於丁位除而與商乗得一十/二即一又當於丙位除矣隅法亦然則並去丙
之一丁之二又以隅三自乗得九於戊位減之適盡
得方一百二十三
又如實四十五萬九千六百八十四列甲乙丙丁戊
己六位此亦須三度開而實首乃甲乙兩位開也甲
[006-3b]
乙數四十五甲四乙五并而計之則曰四十/五而不必問其為四十五萬也且取六
為初商列甲之左而以六自乗得三十六於甲乙兩
位減之則去甲之四加乙五為九此初開也再開倍
六得一十二為亷法先以一除乙之九則於乙減七
存二於甲空位列七為次商不用實者以八開/之則 不足也次以
二與七相乗得一十四於乙丙兩位減之則減乙二
為一丙九為五又以隅七自乗得四十九於丙丁兩
位減之則去丙之五加丁六為七此再開也三開倍
[006-4a]
六十七得一百三十四為亷法先以一除乙之一戊/己
兩位為三開之位則亷法之一當於丙位除而乙位/當列三商矣今乙位有實則亦以除丙之法除之葢
乙丙同除猶實首之兩位并開也除同而所以除不/同假使乙位空而丙位有一則以亷一除丙當去丙
之一而列一於乙為三商今以除乙之一則為見一/無除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳
則改乙一為九加丙空為一而其下實不足除即又
減乙九為八為三商而加丙一為二乙之一丙之十/也試列十於丙
而以亷一除之與此同/則除乙猶之除丙耳次以三與八相乗得二十四
於丙丁兩位減之則去丙之二減丁七為三次以四
[006-4b]
與八相乗得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三
減戊八為六又以隅八自乗得六十四於戊己兩位
減之適盡得方六百七十八
又如實六百七十六列甲乙丙三位此只須兩度開
而實首係甲一位開也甲數六且取二為初商列甲
左而以二自乗得四即於甲減四存二此初開也再
開倍二得四為亷法以四除甲之二則改甲二為五
又以四除乙之七則於乙減四存三於甲加一為六
[006-5a]
為次商此甲乙同除如前第二例第三開之乙丙同/除也前例只是以亷一除丙之十此例只是
以亷四除乙之二十七/合觀二例其義益明乃以隅六自乗得三十六減
乙丙實並盡得方二十六
開方得數審空位例假如實六十五萬四千四百八
十一列甲乙丙丁戊己六位此須三度開而實首係
甲乙兩位開也甲乙數六十五且取八為初商列甲
左而以八自乗得六十四於甲乙兩位減之則去甲
之六減乙五為一此初開也再開倍八得一十六為
[006-5b]
亷法先以一除乙之一而其下實不足除知再開值
空位矣丙丁為再開之位則亷之六當於丙位除一/當於乙位除而除得次商當在甲位今若去
乙之一而列一於甲為次商即丙位無六可除此當/為見一無除改作九而下添一然則商乃在乙位而
甲位空矣可知無次/商宜便接三開也三開倍八十得一百六十前方/八下
有空位則謂之八十也/若更有空位亦遞進之為亷法仍先以一除乙之一
戊己為三開之位則亷法當於戊位除而亷法有一/百六十即六當於丁位除一當於丙位除今乙位有
實又須以除丙之法除之葢除乙猶之除丙/其説已詳前二例矣 三商自當在乙位也則改乙
一為九為三商而加丙四為五次以六與九相乗得
[006-6a]
五十四於丙丁兩位減之則並去丙之五丁之四又
以隅九自乗得八十一於戊己兩位減之適盡得方
八百零九
開方初商列位法 凡初商列於實首位之左者為多
而不盡然也須知實首兩位開而初商數不滿五者
必當借實首甲位列之何也實首甲一位開則乙丙
為次開之位而乙屬亷丙屬隅也亷法於乙位除即
除得次商當在甲位而初商不得不列甲之左矣實
[006-6b]
首兩位開則丙丁為次開之位而丙屬亷丁屬隅也
亷法於丙位除而初商係五倍之為十遇十進位乃
當於乙位除即除得次商亦當在甲位而初商不得
不列甲之左矣五以上更/不必言若實首既以兩位開而初
商係四倍之為八只當於丙位除然則除得次商當
在乙位而初商當列甲位又何疑乎四以下更/不必言且如
實二千四百零一列甲乙丙丁四位當取四為初商
而減甲乙實一十六則先去甲之二加乙四為八乃
[006-7a]
以初商四列甲位再開倍四得八為亷法以除乙之
八則改乙八為九為次商加丙空為八而以隅九自
乗得八十一減丙丁實並盡得方四十九倘以初商
四列甲左竟似四百零九其誤甚矣葢開得商數中
間應有空位與否信手布算即自然而見本不煩擬
議也但審定初商位置則無空者不致誤而成空而
以後俱任其自然之數可耳
又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或
[006-7b]
去乙之八列一於甲為次商而以隅一自乗減丁之
一亦盡乃得方四十一豈非誤之尤甚者乎葢丙丁
為次開之位而亷法止有八則當於丙位除除得次
商當在乙位雖乙位有實而以除丙之法除乙然次
商畢竟仍在乙位斷無進到甲位之理不辨於此且
致大誤故詳論之而初商若便列在甲位亦自無此
弊矣
開方餘實命分法 開方餘實僅及所開方數一倍以
[006-8a]
下則命分命分者倍方加一數以命之倍方者亷法/加一數者隅
法/假如實五十五開得方七而餘實六即倍七又加
一數得一十五以為母而以六為子命之曰一十五
分之六并整為七零一十五分之六也
開方求零分密法 開方餘實欲除令盡即所得方數
必帶零分而若以所命之分為方數試以自乗見積
頗朒於原實則法猶疎也且如實二十開得方四而
餘實四依命分法為九之四并整為四又九之四乃
[006-8b]
化整俱為零曰九之四十母子各自乗以見方積母
得八十一此原實一之方積也葢一實而縱横俱/分為九則其中應有方積八十一矣子
得一千六百此總方/積也以母積除子積歸整得實一十九
又八十一之六十一則朒於原實八十一之二十當
更有法以開之其法倍九之四十倍之為/亷法也為九之八
十以除朒八十一之二十得七百二十之二十約為
三十六之一與前方九之四十相并得三百二十四
之一千四百四十九約為三十六之一百六十一以
[006-9a]
母除子歸整得方四又三十六之一十七仍化整俱
為零母子各自乗以見方積母得一千二百九十六
子得二萬五千九百二十一以母積除子積歸整得
實二十又一千二百九十六之一雖盈於原實一千
二百九十六之一然比之朒於原實八十一之二十
則其法已密矣
又法如實二十開得方四而餘實四但倍方為分母
不復加隅而以餘實為子曰八之四約為二之一并
[006-9b]
整為四又二之一乃化整俱為零曰二之九母子各
自乗以見方積母得四子得八十一以母積除子積
歸整得實二十又四之一則盈於原實四之一亦更
有法以開之其法倍二之九為一之九本欲倍其子/而半其母則
子自倍矣不/須更用約法以除盈四之一得三十六之一與前方
二之九相減此與前法正同而盈朒并減有辨葢前/方朒於原實則以亷法除所朒之數而
與之相并前方盈於原實則以亷/法除所盈之數而與之相減也得七十二之三百
二十二約為三十六之一百六十一以下各數並與
[006-10a]
前法同按二法所得數其歸正同葢/偶同耳他處則往往小異也
右二法開方自乗得積並盈於原實一千二百九十
六之一必欲除盡依法再開之以四又三十六之一
十七復化為三十六之一百六十一倍之為一十八
之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一
萬一千五百九十二之一與前方三十六之一百六
十一相減得四十一萬七千三百一十二之一百八
十六萬六千二百七十六約為一萬一千五百九十
[006-10b]
二之五萬一千八百四十一以母除子歸整得方四
又一萬一千五百九十二之五千四百七十三仍化
整俱為零母子各自乗以見方積母得一億三千四
百三十七萬四千四百六十四子得二十六億八千
七百四十八萬九千二百八十一以母積除子積歸
整得實二十又一億三千四百三十七萬四千四百
六十四之一此則盈於原實為數甚微矣欲除盡依
法再開
[006-11a]
又法開方不盡實則增開數以求之凡增一開者化
實之一為百而開得方數當十而一增二開者化實
之一為萬而開得方數當百而一假如實二十四化
為二千四百開之得四十九是為一十之四十九以
母除子歸整得方四又一十之九仍化整俱為零自
乗以見方積得一百之二千四百零一以母積除子
積歸整得實二十四又一百之一乃盈於原實一百
之一也或增二開三開者倣此
[006-11b]
零分開方法 原實係整數而開之帶零分者前法已
詳矣若原實先係零分而欲開方者法以母自開得
數為母子自開得數為子其大端也如實九之四開
得方三之二是已更有開得數復成零分乃須分别
算之如實九之二十母開得三子開得四又九之四
化為九之四十此只依命分之數聊示/其法耳未及密率也此當用整除
零分法以三乗九為母以四十為子得方二十七之
四十也如實二十之九母開得九之四十子開得三
[006-12a]
此當用零分除整法以四十為母以九乗三為子得
方四十之二十七也又如實七之二十母開得二又
五之三化為五之一十三子開得九之四十此當用
零分除零分法以一十三乗九為母以五乗四十為
子得方一百一十七之二百也葢原實之母本法也
原實之子則實也故右三例用法分别如此前零分
篇中於開方法未詳兹乃盡其變云
長方以積與長廣較求長廣 法以四乗積并較實開
[006-12b]
方得長廣和和較相并半之得長相減半之得廣
長方以積與長廣和求長廣 法以四乗積減和實開
方得長廣較 按四乗積者以四長方兩縱兩横列
四隅合為大平方則四邊各兼長廣之數而中央不
滿者正較自乗之小平方故知和實中有四積一較
實也二法亦見句股章彼以八乗/積者句股之積半長方積也右二法可該下文
縱方七法而七法更不可不講者葢變化無窮之用
出焉固非右二法所能及矣具詳於左
[006-13a]
帶縱并方亷開平方法長方以積與較求廣者其長
之積多於廣當加法以帶除其長積名帶縱并方亷
開平方依常列實定開位以較為帶縱初開稍朒其
商以帶縱并之為方法常法以方與商為一/此以方與商為二乃以乗
商減實再開倍前商亦以帶縱并之為亷法以除實
得次商其隅法如常
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣較
一十二求廣者初商得二列甲左而以縱并商得三
[006-13b]
十二須知初商之二是二十故并縱得三十二也凡/商與縱并者以十隨十以百隨百并之相減亦
然/為方法乃以方法乗商以三乗二得六此處只作/二與三且
勿論其為二十/與三十可也於甲位減之依常法商二自乗當於/甲位減今與方法三相
乗亦/同也則減甲八為二次以二乗二得四於乙位減之
六於甲位減則四當於乙位減/故初開而減及次開之亷位也則減乙六為二此初
開也再開倍前商二得四并縱得五十二倍商是四/十也 倍
商不/倍縱為亷法先以五除甲之二倍商之四當於乙位/除因帶縱首之一而
成五亦同除得次商當在甲位今甲位有實故以除/乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而進一位
[006-14a]
也此五只作五若倍商四縱首/六并成一十乃當進一位耳則改甲二為四為次
商次以二乗四得八於丙位減之五於乙位除則二/當於丙位除故亷
法而減及/隅位也則減乙二為一加丙四為六又以隅四自
乗得一十六減乙丙兩位實盡得廣二十四并較得/長三十
六/
又如實二十三萬零四百列甲乙丙丁戊己六位戊/己
為虚/位帶縱七百二十初商得二若商三則并縱首之/七為一十又與商乗
得三十而實首只二/十三不足除故用二列甲左不列甲位者/帶縱故也而以縱并
[006-14b]
商得九百二十為方法乃以方法乗商以九乗二得
一十八於甲乙兩位減之則去甲之二加乙三為五
次以二乗二得四於丙位減之則減乙五為四加丙
空為六此初開也再開倍前商二得四并縱得一千
一百二十為亷法先以一除乙之四倍商之四當於/丙位除因并縱
首之七而成一十一則此一當進而於乙位除除/得次商當在甲位矣初商不列甲位正為此也則
去乙之四於甲空位列四為次商次以一乗四得四
於丙位減之則減丙六為二次以二乗四得八於丁
[006-15a]
位減之則減丙二為一加丁四為六又以隅四自乗
得一十六減丙丁實並盡得廣二百四十并較得長/九百六十
又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶
縱七十二初商得一列甲左而以縱并商得一百七
十二為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲
位減之則去甲之一次七仍得七於乙位減之則減
乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二
此初開也再開倍前商一得二并縱得二百七十二
[006-15b]
為亷法先以二除乙之二而其下實不足除知再開
值空位矣倍商之二當於乙位除除得次商當在甲/位今若去乙之二而列一於甲為次商即
丙丁兩位無七與二可除當為見二無除改作九而/下添二然則商乃在乙位矣既退一位知是三商非
次商/也三開倍前商一十得二十此一與二皆百也/謂之十者依常法并
縱得二百七十二為亷法仍先以二除乙之二倍商/之二
十當於丙位除乙位有實/故以除丙之法除乙也則改乙二為九加丙二為
四而其下實又不足除即又減乙九為八為三商而
加丙四為六次以七乗八得五十六於丙丁兩位減
[006-16a]
之則去丙之六加丁四為八次以二乗八得一十六
於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四又以
隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八
并較得長/一百八十
又如實一萬六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位
帶縱七十二此當減一開而實首取三位并開之若/初
商一則并縱得一百七十二而/乙丙兩位無七與二可除也初商得九此當借列/實首甲位
而以縱并商得一百六十二為方法乃以方法乗商
[006-16b]
以一乗九得九於乙位減之初商之九當於丙位減/因并縱首之七而成一
十六則此一當/進而於乙位減則去甲之一加乙六為七次以六乗
九得五十四於乙丙兩位減之則減乙七為一加丙
一為七次以二乗九得一十八於丙丁兩位減之則
減丙七為五加丁二為四此初開也再開倍前商九
得一十八并縱得二百五十二為亷法先以二除乙
之一倍商之一十八當於丙丁兩位減并縱首七而/成二十五其位亦同今乙位有實故以除丙之
法除/乙也則改乙一為五又以二除丙之五則於丙減二
[006-17a]
存三於乙加一為六為次商次以五乗六得三十於
丙位減之則去丙之三次以二乗六得一十二於丁
戊兩位減之則減丁四為三戊八為六又以隅六自
乗得三十六減丁戊實並盡得廣九十六并較得長/一百六十
八/
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊
己六位帶縱一千零八十八初商得一初商是百而/縱乃至千故
只可/用一列甲左而以縱并商得一千一百八十八為方
[006-17b]
法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之方/一
百之一當於乙位減此是/縱首一千之一故進一位則去甲之一次一仍得一
於乙位減之則減乙六為五次八仍得八於丙位減
之則減乙五為四加丙六為八次八仍得八於丁位
減之則減丙八為七加丁四為六此初開也再開倍
前商一得二并縱得一千二百八十八為亷法先以
一除乙之四倍商之二當於丙位減此是縱首/之一故進一位也下三開倣此則於
乙減三存一於甲空位列三為次商次以二乗三得
[006-18a]
六於丙位減之則減丙七為一次以八乗三得二十
四於丙丁兩位減之則去乙之一加丙一為九減丁
六為二次以八乗三得二十四於丁戊兩位減之則
去丁之二減戊六為二又以隅三自乗得九於丁位
減之則減丙九為八加丁空為一此再開也三開倍
前商一十三得二十六并縱得一千三百四十八為
亷法先以一除丙之八則於丙減六存二於乙空位
列六為三商次以三乗六得一十八於丙丁兩位減
[006-18b]
之則去丙之二加丁一為三次以四乗六得二十四
於丁戊兩位減之則去丁之三加戊二為八次以八
乗六得四十八於戊己兩位減之則減戊八為三加
己四為六又以隅六自乗得三十六減戊己實並盡
得廣一百三十六并較得長一千/二百二十四
帶縱減積開平方法 長方積較求廣或於實内減長
積以就其方名帶縱減積開平方列實定位以較為
帶縱初開亦稍朒其商先以帶縱乗商減實乃以商
[006-19a]
自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干
亦先以帶縱乗商減實乃以亷法除實合次商其隅
法如常
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二
初商得二列甲左而先以縱乗商以一乗二得二於
甲位減之此縱之一商之二皆十也依常法商二自/乗於甲位減今以縱一乗商二亦同葢凡
十與十百與百相乗皆於本位減必相乗又得十乃/進一位若商係十而乗縱之百則當進一位商係百
而乗縱之十則當退一位次商三商其理不殊各以/所商應除之位為本位而進退之也負縱益積倣此
[006-19b]
則減甲八為六次以二乗二得四於乙位減之則減
乙六為二乃以商二自乗得四於甲位減之則又減
甲六為二此初開也再開倍前商二得四為亷法約
計次商當得四約計減積之餘尚有商亷/相乗及隅自乗之數也亦先以縱
乗商以一乗四得四於乙位減之次商即再開之隅/隅本位在丙然隅
四只是四數而所與乗之縱一則是一十故進一位/也若以比初開所除之位則為退一位至三開即比
再開又退/一位矣則減甲二為一加乙二為八次以二乗四
得八於丙位減之則減乙八為七加丙四為六乃以
[006-20a]
亷四除甲之一則改甲一為二加乙七為九又以四
除乙之九則於乙減八存一於甲加二為四為次商
又以隅四自乗得一十六減乙丙實並盡得廣二十
四
又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶
縱七十二初商得一列甲左而先以縱乗商以七乗
一仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二
於丙位減之則減丙四為二乃以商一自乗得一於
[006-20b]
甲位減之則去甲之一此初開也再開倍前商一得
二為亷法約計次商不足除知再開值空位乙位實/二試擬
一為次商而以縱首之七相乗當比初開退一位於/丙位減之則丙實只有二必減及於乙而亷已不足
除未暇論其他矣故/知再開值空位也三開倍前商一十得二十為亷
法約計三商當得八亦先以縱乗商以七乗八得五
十六於丙丁兩位減之則減乙二為一加丙二為六
丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之
則減丁八為六加戊空為四乃以亷二除乙之一則
[006-21a]
改乙一為五又以二除丙之六則去丙之六於乙加
三為八為三商又以隅八自乗得六十四減丁戊實
並盡得廣一百零八 按積較求廣雖有二法只如
一法耳前法并縱於方亷以除實此法分縱與方亷
先後減實異而不異也分作兩度減固不如并作一
度除之便然必備識諸法而後可以盡其變化之用
不容廢云
負縱減方亷開平方法 長方以積與較求長者其廣
[006-21b]
之積少於長當損其法之長名負縱減方亷開平方
列實定開位以較為負縱初開稍盈其商以負縱減
之為方法乃以乗商減實再開倍前商亦以負縱減
之為亷法以除實得次商其隅法如常 假如長方
積八百六十四列甲乙丙三位較一十二求長者初
商得三列甲左而以負縱減商得一十八為方法乃
以方法乗商以一乗三得三於甲位減之則減甲八
為五次以八乗三得二十四於甲乙兩位減之則減
[006-22a]
甲五為三乙六為二此初開也再開倍前商三得六
減負縱得四十八為亷法先以四除甲之三則改甲
三為七於乙加二為四而其下實不足除即又於甲
減一存六為次商而於乙加四為八次以八乗六得
四十八於乙丙兩位減之則減乙八為三加丙四為
六又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三
十六減較得廣/二十四
又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位負
[006-22b]
縱七十二初商得一列甲左而以負縱減商得二十
八為方法乃以方法乗商以二乗一仍得二於乙位
減之商係百而乗方之/十故退一位也則減乙九為七次八仍得八
於丙位減之則減乙七為六加丙四為六此初開也
再開倍前商一得二減負縱得一百二十八為亷法
先以一除甲之一則改甲一為九於乙加一為七而
其下實不足除即又於甲減一存八為次商而於乙
加一為八次以二乗八得一十六於乙丙兩位減之
[006-23a]
則減乙八為七去丙之六次以八乗八得六十四於
丙丁兩位減之則減乙七為六加丙空為四去丁之
四又以隅八自乗得六十四減乙丙實並盡得長一
百八十減較得廣/一百零八
負縱益積開平方法長方積較求長或益積以補廣
而就其方名負縱益積開平方列實定位以較為負
縱初開亦稍盈其商先以負縱乗商益實乃以商自
乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦
[006-23b]
先以負縱乗商益實乃以亷法除實合次商其隅法
如常
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二
初商得三此當列甲左第二位因有益積故也初開/畢不妨從甲左第二位移入甲左凡縱方
諸例其商位每不可拘善算/者自了然於心手之間耳而先以負縱乗商以一
乗三得三於甲位加之則於甲左空位列一而減甲
八為一次以二乗三得六於乙位加之則加甲一為
二減乙六為二乃以商三自乗得九於甲位減之則
[006-24a]
去甲左之一加甲二為三此初開也再開倍前商三
得六為亷法約計次商當得六亦先以負縱乗商以
一乗六得六於乙位加之則加乙二為八次以二乗
六得一十二於乙丙兩位加之則加乙八為九丙四
為六乃以亷六除甲之三則改甲三為五又以六除
乙之九則於乙減六存三於甲加一為六為次商又
以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊
[006-24b]
己六位負縱一千零八十八此當增一開負縱至千/而依實位
初商只是百/數無是理也初商得一列甲左第二位而先以負縱
乗商以一乗一仍得一於甲左空位加之甲左空位/是商千應
除之本位也商千乗/縱千當於本位加則列一於甲左次八仍得八於
乙位加之則加甲一為二減乙六為四次八仍得八
於丙位加之則加乙四為五減丙六為四乃以商一
自乗得一於甲左空位減之則去甲左之一此初開
也再開倍前商一得二為亷法約計次商當得二亦
[006-25a]
先以負縱乗商以一乗二得二於甲位加之則加甲
二為四次以八乗二得一十六於乙丙兩位加之則
加乙五為七去丙之四次以八乗二得一十六於丙
丁兩位加之則加丙空為二去丁之四乃以亷二除
甲之四則去甲之四於甲左空位列二為次商又以
隅二自乗得四於乙位減之則減乙七為三此再開
也三開倍前商一十二得二十四為亷法約計三商
當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於乙位加
[006-25b]
之則加乙三為五次以八乗二得一十六於丙丁兩
位加之則加丙二為三丁空為六次以八乗二得一
十六於丁戊兩位加之則加丁六為八減戊六為二
乃以亷二除乙之五則於乙減四存一於甲空位列
二為三商次以四乗二得八於丙位減之則去乙之
一加丙三為五又以隅二自乗得四於丁位減之則
減丁八為四此三開也四開倍前商一百二十二得
二百四十四為亷法約計四商當得四亦先以負縱
[006-26a]
乗商以一乗四得四於丙位加之則加丙五為九次
以八乗四得三十二於丁戊兩位加之則加丁四為
七戊二為四次以八乗四得三十二於戊己兩位加
之則加戊四為七己四為六乃以亷二除丙之九則
於丙減八存一於乙空位列四為四商次以四乗四
得一十六於丙丁兩位減之則去丙之一減丁七為
一次以四乗四得一十六於丁戊兩位減之則去丁
之一減戊七為一又以隅四自乗得一十六減戊己
[006-26b]
實並盡得長一千二百二十四 按積較求長二法
不同論負縱以并方亷為便而使負縱多初商少乃
宜用益積也别擬取㨗之術凡負縱減商而商不足
則以所負商數為負方亦可稱餘/負縱也以負方乗商益積
即初開畢矣自再開以後減亷固無礙耳
帶縱負隅益積開平方法 長方以積與和求廣者用
和為帶縱此與用較為帶縱又别用較為帶縱者以/縱并方亷而乗商減實用和為帶縱者直
以縱乗商減實耳然且患縱多/積少而須益積及減縱二法矣則已兼長廣而積有
[006-27a]
長廣相乗無廣自乗故置負隅法以益積而以帶縱
開之名帶縱負隅益積開平方列實定開位以和為
帶縱别置一算為負隅初開稍朒其商以乗負隅一/為
負隅則可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者/此法施之他處即負隅或不止於一也觀後各例自
見/為方法先以方法乗商益實乃以帶縱乗商減實
再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干
以乗負隅為隅法先以亷法乗商益實又以隅法乗
商隅乗商云者因有負隅之乗故又分隅與商為二/也然負隅若止於一則直云商自乗或隅自乗亦
[006-27b]
可/耳益實乃以帶縱除實合次商
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣和
六十求廣者初商得二此當列甲/左第二位而以乗負隅仍得
二為方法先以方二乗商二得四於甲位加之則於
甲左空位列一而減甲八為二乃以縱六乗商二得
一十二於甲左及甲兩位減之則去甲左之一甲之
二此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四
為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法
[006-28a]
先以亷四乗商四得一十六於甲乙兩位加之則加
甲空為二減乙六為二又以隅四乗商四得一十六
於乙丙兩位加之則加乙二為四去丙之四乃以縱
六除甲之二以縱除與以亷除其位同此縱之六與/亷之四皆十也以十隨十當於亷本位
乙位除之除得次商當在甲位今甲位有實則/甲乙同除也 至此宜將初商仍移入甲左矣則改
甲二為三於乙加二為六又以六除乙之六則去乙
之六於甲加一為四為次商得廣二十四
帶縱負隅減縱開平方法 長方積和求廣或減負隅
[006-28b]
於縱而以餘縱開之名帶縱負隅減縱開平方列實
定位以和為帶縱别置一算為負隅初開亦稍朒其
商以乗負隅為方法以方法減縱乃以餘縱乗商減
實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若
干以乗負隅為隅法以亷法減縱又以隅法減縱乃
以餘縱除實合次商
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位和六十初
商得二列甲左而以乗負隅仍得二為方法以方法
[006-29a]
減縱餘四十乃以縱四乗商二得八於甲位減之則
去甲之八此初開也再開倍前商二得四以乗負隅
仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四
為隅法以亷法減縱餘二十又以隅法減縱餘一十
六乃以縱一除乙之六則於乙減四存二於甲空位
列四為次商次以六乗四得二十四減乙丙實並盡
得廣二十四
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊
[006-29b]
己六位帶縱一千三百六十初商得一列甲左而以
乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘一千二百六
十乃以縱乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去
甲之一次二仍得二於乙位減之則減乙六為四次
六仍得六於丙位減之則去丙之六此初開也再開
倍前商一得二以乗負隅仍得二為亷法約計次商
當得三以乗負隅仍得三為隅法以亷法減縱餘一
千一百六十又以隅法減縱餘一千一百三十乃以
[006-30a]
縱一除乙之四則於乙減三存一於甲空位列三為
次商次以一乗三得三於丙位減之則去乙之一加
丙空為七次以三乗三得九於丁位減之則減丙七
為六加丁四為五此再開也三開倍前商一十三得
二十六以乗負隅仍得二十六為亷法約計三商當
得六以乗負隅仍得六為隅法以亷法減縱餘一千
一百又以隅法減縱餘一千零九十四乃以縱一除
丙之六則去丙之六於乙空位列六為三商次以九
[006-30b]
乗六得五十四於丁戊兩位減之則去丁之五減戊
六為二又以四乗六得二十四減戊己實並盡得廣
一百三十六 按積和求廣二法以減縱法為優葢
初開以後欲約得續商之數比益積為差易但先以
亷減縱而以餘縱求之如第一例餘實六十四且作
四與十六相乗之數而餘縱二十析之亦得四與十
六兩數即四為次商為隅法以再減餘縱得一十六
而以縱除實正得次商矣如第二例直以亷減餘之
[006-31a]
縱約餘實得次商三商雖得商後須再以隅減縱而
縱多商少隅減之餘與亷減之餘當不至大相懸也
然此特謂積和求廣之本法止以一為負隅者若施
之他處負隅不止於一則因續商有負隅之乗理當
小異不得僅如右二説且開除往往遇負積更須參
用下文翻法耳
帶縱負隅減縱翻法開平方法 長方以積與和求長
者積有長廣相乗無長自乗法當損廣以益長故以
[006-31b]
和為帶縱别置一算為負隅初開稍盈其商以乗負
隅為方法以方法減縱以餘縱乗商減積而積常不
足則翻以所負積數為積再開倍前商以乗負隅為
亷法以亷法減縱而縱又常不足亦翻以所負縱數
為縱既隅積縱三者俱負乃以負縱除負積得次商
又以次商乗負隅為隅法以乗商減負積名帶縱負
隅減縱翻法開平方
假如長方積三千四百五十六列甲乙丙丁四位和
[006-32a]
一百二十求長者初商得七此雖列甲左而除得次/商乃在乙位則又當借
列甲/位也而以乗負隅仍得七為方法以方法減縱餘五
十乃以縱五乗商七得三十五於甲乙兩位減之而
積不足四十四則去甲之三乙之四丙之五丁之六
而列四於丙列四於丁為負積此初開也再開倍前
商七得一十四以乗負隅仍得一十四為亷法以亷
法減縱而縱不足二十即以負縱二除丙之四則去
丙之四於乙空位列二為次商又以次商乗負隅仍
[006-32b]
得二為隅法以乗商二得四減丁位負積適盡得長
七十二
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊
己六位帶縱一千三百六十此當增一開初商得一
若初商九百或八百商愈少則/負積且愈多故知當為一千也列甲左第二位而以
乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘三百六十乃
以縱乗商以三乗一仍得三於甲位減之商千之位/在甲左商
千乗縱百則退一/位故當於甲位減以六乗一仍得六於乙位減之而
[006-33a]
積不足一十九萬三千五百三十六則去甲之一乙
之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一於甲列
九於乙列三於丙列五於丁列三於戊列六於己為
負積此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得
二為廉法以亷法減縱而縱不足六百四十即以負
縱六除甲之一倍商之二是千也依常法當於甲位/除除得次商當在甲左此負縱之六
是百也則當於乙位除而甲位有負積故甲乙同除/除得次商乃在甲位葢非次商應列之位特因負縱
數朒/故耳則於乙加四為十三又以六除乙之十三則於
[006-33b]
乙減六存七於甲加一為二為次商此當於再開畢/後移列甲左葢
三開則負縱亦盈至千/與常法倍商數等矣次以四乗二得八於丙位減
之則減乙七為六加丙三為五又以次商乗負隅仍
得二為隅法以乗商二得四於乙位減之則減乙六
為二此再開也三開倍前商一十二得二十四以乗
負隅仍得二十四為亷法以亷法減縱而縱不足一
千零四十即以負縱一除乙之二則去乙之二於甲
空位列二為三商次以四乗二得八於丁位減之則
[006-34a]
減丙五為四加丁五為七又以三商乗負隅仍得二
為隅法以乗商二得四於丁位減之則減丁七為三
此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四
以乗負隅仍得二百四十四為亷法以亷法減縱而
縱不足一千零八十即以負縱一除丙之四則去丙
之四於乙空位列四為四商次以八乗四得三十二
於丁戊兩位減之則去丁之三減戊三為一又以四
商乗負隅仍得四為隅法以乗商四得一十六減戊
[006-34b]
己負積並盡得長一千二百二十四 按積和求廣
初開後必有餘積若遇負積即初商是長非廣/也此亦指一為負隅者而言求長
則初開常負積其大凡也若求長用益積法則初開
所負之積不妨於再開所益積内減之再開所負於/三開所益減
但欲約次商患其茫然無緒可尋故只倣減縱法葢
減縱則縱常不足因即以負縱除負積而得商此翻
法所以為良也其間更有變例不可不知者别詳於
左
[006-35a]
一求長而初開後乃有餘積此其初商必與求廣相
同者也既有餘積則以亷減縱亦必有餘縱若積餘/縱負乃
是商數過盈非所求/之長當改商就朒且如實一萬九千四百四十和
二百八十八初商得一百求廣求/長同而餘積六百四十
再開以亷減縱餘八十八約餘積為八與八十相乗
之數而餘縱析之亦得八與八十兩數此若求廣即
再開為空位以八為三商以再減餘縱得八十而以
除積正得三商為廣一百零八若求長即以八十為
[006-35b]
次商以再減餘縱得八而以除積正得次商為長一
百八十葢只用減縱法而廣長皆得可不須翻法也
又如實二萬零九百四十四和二百九十初商得一
百而餘積一千九百四十四再開以亷減縱餘九十
約餘積一千九百其下小數且/置不算也為四十與五十相乗
之數則朒為三十與六十相乗之數則盈而餘縱析
之亦得四十與五十兩數及三十與六十兩數此若
求廣則取盈數宜有餘/積也以三十為次商廣不合有一/百六十故不
[006-36a]
用/六以再減餘縱得六十而以除積一千八百得次商
仍餘積一百四十四三開以亷減縱餘三十約餘積
為六與二十四相乗之數而餘縱析之亦得六與二
十四兩數即以六為三商以再減餘縱得二十四而
以除積正得三商為廣一百三十六若求長則取朒
數宜負/積也以五十為次商長不合止一百/四十故不用四以再減餘縱
得四十而以除積二千合次商積負五十六三開以
亷減縱縱負一十以負縱除負積四十得四為三商
[006-36b]
而以隅四自乗得一十六減負積盡為長一百五十
四葢始終用減縱法以得廣始於減縱終於翻法以
得長非可執一云右一條及下四條所舉假例皆以/一為負隅故例中不言負隅之乗
取省文便覽也又自此以下凡積縱商亷諸數百則/曰百千則曰千而不復著甲乙之位非前後互異正
取參觀以/相發明耳
一負積當以負縱除而以亷減縱適盡者約負積得
次商以乗負隅為隅法以乗商減負積既無負縱則/獨用隅法減
負積也或以負隅除負積/以常法平方開之亦可如實八百六十四初商三
[006-37a]
十而負積三十六再開以亷減縱適盡即約負積得
次商六為隅法自乗得三十六減負積盡為長三十
六又如實九千三百七十五和二百初商一百而負
積六百二十五再開以亷減縱適盡即約負積得次
商二十為隅法自乗得四百減負積三開以亷減縱
縱負四十乃以負縱除負積二百得五為三商而以
隅五自乗得二十五減負積盡為長一百二十五負/積
六百二十五常法開平方亦得二十五平方再開亷/法之四十猶翻法三開負縱之四十也葢縱亷相減
[006-37b]
負縱即是餘亷而在負隅法中方亷隅皆負/也縱乃正也以相減則負縱固是餘負亷也
一以亷減縱有餘縱不可以除負積者約計當得次
商若干以乗負隅為隅法再減餘縱縱負則以負縱
除負積合次商負縱與隅法皆所用以除負積者也/無負縱則獨用隅法有餘縱則以隅
法相/減如實一千六百六十六和八十三初商四十而
負積五十四再開以亷減縱餘三即約九為次商以
再減餘縱縱負六乃以負縱除負積合次商為長四
十九也
[006-38a]
一以亷減縱有餘縱不可以除負積再以隅減縱適
盡者此為有商無除隅與縱相減並盡既無負縱即/無餘隅矣無可用以除負積者
也/而其負積則續商以除之如實五萬五千五百七
十五和四百八十初商二百而負積四百二十五再
開以亷減縱餘八十即以八十為次商若以九十為/次商則減縱
而縱負一十矣然以一十除負積欲合次商之九十/當有負積九百乃足除耳今只四百二十五是負積
又負於法/不得行也以再減餘縱適盡無可除三開以亷減縱
縱負八十乃以負縱除負積四百得五為三商而以
[006-38b]
隅五自乗得二十五減負積盡為長二百八十五
一以亷減縱有餘縱再以隅減縱仍有餘縱者以餘
縱乗商益負積餘縱以減積負縱以減負積/然則餘縱當以益負積矣而續商
以除之如實一萬六千一百二十八和二百六十四
初商一百而負積二百七十二再開以亷減縱餘六
十四即以六十為次商不以七十為次商者猶前/例不可以九十為次商也以
再減餘縱仍餘四則以餘縱乗商得二百四十以益
負積得五百一十二三開以亷減縱縱負五十六乃
[006-39a]
以負縱除負積四百四十八得八為三商而以隅八
自乗得六十四減負積盡為長一百六十八
右自帶縱并方亷開平方至此凡有縱方七法六法
所以御平方之變而翻法又所以通縱方之窮也此
外更有隅算開平方一法其以商亷相乗與負隅同
而負隅則以益積及減帶縱隅算則以除積而并帶
縱葢隅有正負猶縱有正負也若以一為隅算則與/無隅算同商亷固即
是隅算/之一也以此八法為綱領而錯綜變化其用不窮矣
[006-39b]
隅算法前未有例於後見之云
平方以斜徑求方 法以斜徑自乗為實以二為隅算
開方 假如方田斜徑七十步求方者以斜徑自乗
得四千九百為實以二為隅算初商四十以乗隅算
得八十為方法以方法乗商得三千二百減實再開
倍前商得八十以乗隅算得一百六十為亷法以亷
法除實一千四百四十得九為次商又以次商乗隅
算得一十八為隅法以隅法乗商得一百六十二減
[006-40a]
實不盡九十八倍商加隅仍乗隅算以命分為一百
九十八之九十八約為九十九之四十九得方四十
九零九十九之四十九也 按斜徑自乗之實倍方
積故以二為隅算開之或不用隅算以斜徑/實半之開方亦得舊説率
方五斜徑七然方五則斜七而强斜七則方五而弱
未可為密率不若方斜積率方一斜二無黍絲差也
平方以方求斜徑 法倍方積開方
大小兩方以共積及兩方互乗數求大小方 法倍兩
[006-40b]
方互乗數減共積開方得兩方較乃以兩方互乗數
為實以較為帶縱用帶縱并方亷開之言并方亷而/或用減積可
知不待言/也他倣此得小方或以較為負縱用負縱減方亷開
之得大方
又法倍兩方互乗數并共積開方得兩方和乃以兩
方互乗數為實以和為帶縱一為負隅用帶縱負隅
減縱開之得小方或用翻法開之得大方按此葢以/句股法通
之大方股也小方句也共積弦實也兩方互乗數句/股相乗長方積也故倍互乗數則與共積相并减而
[006-41a]
開方可得和與較也或和或較但得其一即以互乗/數為實用縱方開之自見大小方矣若兼求和與較
以見大小方不用/縱方之法亦可耳
大小兩方以共積及兩方較求大小方 法以較實減
共積餘為實以二為隅算倍較為帶縱用隅算帶縱
并方亷開之得小方或倍較為負縱用隅算負縱減
方亷開之得大方 假如大小兩方田共積七千五
百九十二步兩方較二十八步求大方者以較自乗
得七百八十四以減共積得六千八百零八為實以
[006-41b]
二為隅算倍較得五十六為負縱初商七十以乗隅
算得一百四十為方法先以負縱乗商得三千九百
二十益實乃以方法乗商得九千八百減實再開倍
前商得一百四十以乗隅算得二百八十為亷法約
計次商當得四以乗隅算得八為隅法先以負縱乗
商得二百二十四益實乃以亷法除實一千一百二
十合次商又以隅法乗商得三十二減實盡得大方
七十四此以隅算負縱益積/法為例餘可類推
[006-42a]
大小兩方以共積及兩方和求大小方 法以和實減
共積餘為實以二為負隅倍和為帶縱用帶縱負隅
減縱開之得小方或用翻法開之得大方按右二條/但倍共積
以減較實開方得兩方和以減和實開方得兩方較/兼和較以見大小方最為便易然欲倣此意而推之
三方以上則格而難通矣若以較和實減共積為實/倍較和為帶縱負縱則推之三方以上總用此法不
過遞增其隅算負隅之數及中方以較較為/縱微不同耳合下二條觀之乃知法之妙也
大小三方以共積及三方之兩較求各方 法以兩較
實減共積餘為實以三為隅算而視其較若係大與
[006-42b]
小中與小之兩較則倍兩較為帶縱用隅算帶縱并
方亷開之得小方係大與中大與小之兩較則倍兩
較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方或係大
與中中與小之兩較而大與中之較盈於中與小之
較可知中方/近小方也則倍兩較之較為帶縱用隅算帶縱并
方亷開之大與中之較朒於中與小之較中方近/大方也則
倍較較為負縱用隅算負縱減方亷開之大與中之
較中與小之較等則直用隅算開之得中方
[006-43a]
大小三方以共積及三方之兩和求各方 法以兩和
實減共積餘為實以三為負隅倍兩和為帶縱用帶
縱負隅減縱開之得中方及小方或用翻法開之得
大方按并兩和實其數自多雖以共積減之猶多也/以此為實則除之常有餘實矣并兩和又倍之
其數亦復不少以此為縱則減之常有餘縱矣故舉/大與中與小之兩和往往只用負隅減縱法即得大
方不須翻法也惟大方與中小二/方盈朒迥殊者乃間用翻法耳
右四條以較求方以和求方其法兩兩相對由二方
以推之三方更推之多方皆可以一理貫也但較有
[006-43b]
帶縱負縱之分和則惟有帶縱而已又中方以較較
為縱與大小方固殊而以和和為縱則與大小方不
異故以較求者其緒繁以和求者其術簡也且如甲
乙丙丁戊五方舉甲與戊乙與戊丙與戊丁與戊之
四較即先求戊方以四較實減共積餘為實以五為
隅算倍四較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之求甲
方者用負縱若四較皆以甲方為主即/先求甲方也 甲大戊小並如右法至
於求乙丙丁三方者當倍較較為縱而欲得較較固
[006-44a]
自有説假使求乙方即并乙與丙與丁與戊之三較
而以甲與乙之較減之餘則較較也葢以大於乙之
較與小於乙之較相減既得較較且可知乙方為近
大方為近小方而較較為帶縱為負縱矣乙下於甲/一等似近
大方而較較當為負縱然使并乙與丙丁戊之三較/不及甲與乙一較之數即乙近小方而當為帶縱也
等并三較與一較之數/ 者但用隅算開之丙丁倣此其以和求者只如
右法云
三廣田以積與三廣之兩較及長廣較求長廣 法以
[006-44b]
中廣與長之較為帶縱必以中廣為主此算三廣之/定法 既稱長廣則中廣必
朒於長故直稱帶縱而下文立法皆就帶縱言之/也然亦或有中廣反盈於長者自當為負縱耳以
中廣與南北廣之兩較并而四除之為旁縱長既有/縱廣不
當又稱縱而廣之有較/亦縱也故謂之旁縱而中廣朒則為旁帶縱中廣
盈則為旁負縱又有不同旁帶縱者用雙帶縱并方
亷兼減積開之帶縱法以并方亷為便而兩縱分屬/長廣兩邊則初開未可皆并入方故
兼用減積法至再開或減積或并亷/者亷固統長廣兩邊不妨并兩縱也旁負縱者用帶
縱并方亷兼負縱益積減亷開之帶縱既用并方亷/法而兩縱分屬長
[006-45a]
亷兩邊則初方不可一并一減故負縱必用益積法/至再開或益積或減亷者亷統長廣兩邊不妨且并
且減/也得中廣 假如三廣田積二千四百六十五步
中廣朒於南廣八步朒於北廣三十六步朒於長六
十七步求三廣及長者以長廣較六十七為帶縱以
兩廣較并而四除之得一十一為旁帶縱初商一十
并帶縱得七十七為方法先以方法乗旁帶縱得八
百四十七減積乃以方法乗商得七百七十減積再
開倍前商得二十并帶縱得八十七為亷法約計次
[006-45b]
商當得八為隅法先以隅法乗旁帶縱得八十八減
積乃以亷法除積六百九十六合次商又以隅八自
乗得六十四減積盡得中廣一十八各加較得南廣/二十六北廣五
十四長/八十五或再開以旁帶縱并入亷法得九十八以除
積七百八十四得八為次商而以隅法減積盡尤簡
捷
又如三廣田積二千四百六十五步中廣盈於南廣
一十五步盈於北廣九步朒於長五十步求長廣者
[006-46a]
以長廣較五十為帶縱以兩廣較并而四除之得六
為旁負縱初商三十并帶縱得八十為方法先以方
法乗旁負縱得四百八十益積乃以方法乗商得二
千四百減積再開倍前商得六十并帶縱得一百一
十為亷法約計次商當得五為隅法先以隅法乗旁
負縱得三十益積乃以亷法除積五百五十合次商
又以隅五自乗得二十五減積盡得中廣三十五各/加
減較得南廣二十北/廣二十六長八十五或再開以旁負縱減亷法得一
[006-46b]
百零四以除積五百二十得五為次商而以隅法減
積盡尤便按右條之法亦可以縱為旁縱以旁縱為/縱也雖縱有帶負之分而帶縱兼旁負縱
者易為負縱兼旁帶縱於算亦通然長廣之較自當/為縱廣與廣之較自當為旁縱理固如此耳且如下
文各條例中其法更加隅算及負/隅者縱與旁縱斷不可移易也
方長帶偏斜田以積及四邊之三較求長廣 法以一
邊為主若主東一邊即以東長與南北廣之兩較俱
盈俱朒者并而半之一盈一朒者相減而以所餘盈
朒之數半之為縱以東西之較半之為旁縱其為帶
[006-47a]
縱負縱並以東一邊之盈朒分之先求東長如前三
廣田法 假如偏斜田積四千一百四十八步東長
盈於南廣十步朒於北廣四步朒於西長八步求各
長廣者以東與南北兩較相減得盈六半之得三為
負縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十減負
縱得五十七為方法先以方法乗旁帶縱得二百二
十八減積乃以方法乗商得三千四百二十減積再
開倍前商得一百二十減負縱得一百一十七并旁
[006-47b]
帶縱得一百二十一為亷法以亷法除積四百八十
四得四為次商而以隅四自乗得一十六減積盡得
東長六十四各加減較得南廣五十四/北廣六十八西長七十二
又如偏斜田積一萬一千四百步東長盈於南廣一
百三十步盈於北廣一百一十步朒於西長二十步
求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十
為負縱以東西較半之得一十為旁帶縱初商一百
此因負縱多而初/商少兼用益積法先以負縱乗旁帶縱得一千二百
[006-48a]
益積凡帶縱皆用之減積也此旁帶縱何以益積葢/以方法相乗則減積耳方法之中有商有帶縱
方也商也帶縱也皆正也兩正相乗/宜減積一正一負相乗宜益積也次以商乗旁帶
縱得一千減積又以負縱乗商得一萬二千益積乃
以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱
得八十并旁帶縱得九十為亷法以亷法除積七千
二百得八十為次商而以隅八十自乗得六千四百
減積盡得東長一百八十南廣五十北廣/七十西長二百
又如偏斜田積八千一百步東長盈於南廣一百二
[006-48b]
十五步盈於北廣一百一十五步盈於西長一十六
步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二
十為負縱以東西較半之得八為旁負縱初商一百
先以負縱乗旁負縱得九百六十減積凡負縱皆用/之益積此旁
負縱何以減積葢一正一負相乗宜益積/則兩負相乗又宜減積也兩負如無負也次以商乗
旁負縱得八百益積又以負縱乗商得一萬二千益
積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減
負縱得八十又減旁負縱得七十二為亷法以亷法
[006-49a]
除積五千零四十得七十為次商而以隅七十自乗
得四千九百減積盡得東長一百七十南廣四十五/北廣五十五
西長一百/五十四 按右三例第一例以負縱減方亷兼帶
縱減積并亷也其第二例第三例亦是負縱兼旁縱
而初開以負縱減商商皆不足當以所負商數各二
十為負方第二例以負方乗旁帶縱得二百益積又
以負方乗商得二千益積第三例以負方乗旁負縱
得一百六十減積又以負方乗商得二千益積即初
[006-49b]
開各畢矣前著例頗詳者欲使其中條理顯然而㨗
徑自出也
三廣田以積與三廣和兩廣較及長廣較求長廣 法
以四乗積為實以和為帶縱一為隅算凡三廣必倍/中廣并邊兩
廣而四除之以為廣今四乗積則可以當四除矣乃/以三廣和為帶縱而猶少一中廣即以一隅算并縱
隅算固所求/之中廣也以中廣與長之較為旁帶縱如中廣反/盈於長則
為負/也用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之得中廣以/加
長廣較得長以減三廣和得南北二廣和欲知南北/各廣數以兩廣較推之其較非必南北之較而皆可
[006-50a]
以次第推也為按此以長廣較為旁縱者和不得為/旁縱也凡和 帶縱必加隅算及負隅而隅算負隅
勢不得在旁也此隅算只一猶與無隅算同縱與旁/縱可以互換非負隅之比負隅雖只一其縱亦不可
移/耳
方長帶偏斜田以積與三邊和及長較廣較求長廣
法以二乗積為實以和為帶縱一為負隅以三邊和/為帶縱非
有二長即有二廣故以二乗積而有二長者一為負/隅以求廣因以減縱中之廣有二廣者一為負隅以
求長因以減/縱中之長以長較或廣較半之為旁縱求長則取/長較求廣
則取/廣較其為帶縱負縱以所求一邊之盈朒分之乃用
[006-50b]
帶縱負隅減縱兼旁縱開之得一邊長廣 假如偏
斜田積四千一百四十八步東南北三邊和一百八
十六步東長朒於西八步南廣朒於北一十四步求
各長廣者以二乗積得八千二百九十六為實以一
為負隅以和一百八十六為帶縱以東西較半之得
四為旁帶縱初商六十以乗負隅仍得六十為方法
以方法減縱餘一百二十六先以餘縱乗旁帶縱得
五百零四減實乃以餘縱乗商得七千五百六十減
[006-51a]
實再開倍前商得一百二十以乗負隅仍得一百二
十為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅
法以亷法減縱餘六十六又以隅法減縱餘六十二
乃先以隅法乗旁帶縱得一十六益實在負隅法中/方亷隅皆負
也旁帶縱以正而與/負乗故宜益實也而以餘縱減實二百四十八合
次商得東長六十四以減和更以廣較推之得南廣/五十四北廣六十八以長較見
西長七/十二或再開以旁帶縱乗負隅仍得四凡縱不與/隅算及負
隅二者相乗而旁縱自再開以後欲與亷縱相并減/則必與二者相乗也前以隅法乗之而益積隅法固
[006-51b]
已先乗/負隅矣以減縱餘五十八帶縱而乗負/隅故以減縱而以除實二
百三十二合次商亦便
又如偏斜田積三千二百五十步東南北三邊和一
百七十四步東長朒於西一十二步南廣朒於北六
步此須用帶縱負隅減縱翻法倍積為實則除實宜/有餘實一長二廣為
縱則減縱宜有餘縱而或須用/翻法者必其田狹長之甚也而兼旁縱開之以二
乗積得六千五百為實以一為負隅以和一百七十
四為帶縱以東西較半之得六為旁帶縱初商一百
[006-52a]
若商八十或九十則負積愈多而八十且有餘縱無/以置之九十雖有負縱其數甚少不能除盡負積故
定商/一百以乗負隅仍得一百為方法以方法減縱餘七
十四先以餘縱乗旁帶縱得四百四十四減實乃以
餘縱乗商得七千四百減實實負一千三百四十四
再開倍前商得二百以乗負隅仍得二百為亷法以
亷法減縱縱負二十六約計次商當得二十以乗負
隅仍得二十為隅法先以隅法乗旁帶縱得一百二
十減負實乃以負縱除負實五百二十合次商又以
[006-52b]
隅法乗商得四百減負實三開倍前商得二百四十
以乗負隅仍得二百四十為亷法以亷法減縱縱負
六十六約計三商當得四以乗負隅仍得四為隅法
先以隅法乗旁帶縱得二十四減負實乃以負縱除
負實二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六
減負實盡得東長一百二十四南廣二十二北廣二/十八西長一百三十
六/或再開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得三
十二以除負實六百四十得二十為次商而以隅法
[006-53a]
減負實四百三開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負
縱得七十二以除負實二百八十八得四為三商而
以隅法減負實盡尤便 按算術固不能盡言即如
偏斜田設舉積及東南和東北和東西較則并兩和
為帶縱以二為負隅而依前半較為旁縱倍積為實
開之得東長或舉積及東南和東北和東西和則以
四乗積為實以東西和除之得南北和而并東南和
東北和以南北和減之半其餘得東長如三廣田舉
[006-53b]
積與三廣之兩較及長廣和則以和為帶縱一為負
隅并兩較而四除之為旁縱以開積得中廣神而明
之法隨問變豈可限也兹因偏斜田而引伸其説凡
諸條例莫不皆然請以俟通人之自悟焉
長方以重長重廣共步及積求長廣 法以共步為帶
縱而求長則以長數重幾長則為幾/數也下廣數同為負隅以廣數
乗積為實求廣則以廣數為負隅以長數乗積為實
用帶縱負隅減縱及翻法開之不論求長求廣但負/隅數少乗積數多者
[006-54a]
積與縱常有餘往往用帶縱負隅減縱法負隅數多/乗積數少者積與縱常不足往往用翻法惟田形狹
長之甚者則不然臨算/當自知之不可預定耳 假如長方積八百六十四
步二長五廣共一百九十二步為帶縱以五乗積得
四千三百二十為實五乗積則得長乗廣之數/五而可以五廣為帶縱也以二
為負隅實中無長自乗之數而帶縱有二長/故以二為負隅不益實即減縱也用帶縱
負隅減縱開之得長三十六或以二乗積得一千七
百二十八為實以五為負隅用翻法開之得廣二十
四 更有重長重廣重和重較共步及積求長廣者
[006-54b]
如積八百六十四步一和二較三長四廣共二百八
十八步法先約一和得一長一廣并三長四廣得四
長五廣又以二較益廣為長共得六長三廣乃如前
求之若重較數多既益廣盡為長而尚有餘較者此
則不可求長但可求廣原積無長乗較之數故不可/求長原積有廣自乗及廣乗
較之數各一/故可求廣且如積八百六十四步一和六較三長
四廣共三百三十六步約一和三長四廣得四長五
廣又以六較之五益廣為長共得九長而餘一較則
[006-55a]
以九長減較為廣乃得九廣十較而以十乗積得八
千六百四十為實以一為隅算十乗積則得廣自乗/及廣乗較之數各十
而帶縱少一廣故以/一為隅算并縱也以共步為帶縱用隅算帶縱并
方亷開之得廣二十四
長方以長廣母子分數之共步及積求長廣 法以長
母乗廣子為廣率為廣數以廣母乗長子為長率為
長數以兩母相乗為總率以乗共步為帶縱乃如前
重長重廣例求之 假如長方積八百四十步五分
[006-55b]
長之二四分廣之一共二十步求長廣者以五乗一
得五為廣率為五廣以四乗二得八為長率為八長
以五與四乗得二十為總率以乗共步得四百為帶
縱而此帶縱之數凡有八長五廣也乃以八乗積得
六千七百二十為實以五為負隅用帶縱負隅減縱
開之得廣二十四或以五乗積得四千二百為實以
八為負隅用翻法開之得長三十五
長方匿原積以長乗重長重廣積步及較或以廣乗重
[006-56a]
長重廣積步及較求長廣 法以乗積為實并長廣
數為隅算而長乗求長則以廣數乗較為負縱用隅
算負縱減方亷開之廣乗求廣則以長數乗較為帶
縱用隅算帶縱并方亷開之若廣乗求長則以廣數
乗較為負縱又以較為旁負縱用隅算雙負縱減方
亷兼益積開之長乗求廣則以長數乗較為帶縱又
以較為旁帶縱用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之
假如長方匿其原積而以廣乗六長三廣得六千
[006-56b]
九百一十二步其長廣較一十二步求長者以乗積
六千九百一十二為實以九為隅算以三乗較得三
十六為負縱又以較一十二為旁負縱初商三十以
乗隅算得二百七十減負縱得二百三十四為方法
先以方法乗旁負縱得二千八百零八益實乃以方
法乗商得七千零二十減實再開倍前商得六十以
乗隅算得五百四十減負縱得五百零四為亷法約
計次商當得六以乗隅算得五十四為隅法先以隅
[006-57a]
法乗旁負縱得六百四十八益實乃以亷法除實三
千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四
減實盡得長三十六或再開以旁負縱乗隅算得一
百零八以減亷法得三百九十六以除實二千三百
七十六得六為次商而以隅法減實盡尤捷 右法
更有以長乗重長重廣重和重較或以廣乗之而以
其積步及較求長廣者並先約和較為長廣不待言
矣若以較益廣盡為長而尚有餘較如前九長一較
[006-57b]
之比者别自有法且如九長一較法以九為隅算而
長乗求長則以一乗較為帶縱廣乗求廣則以十乗
較為帶縱九廣十/較也廣乗求長則以一乗較為帶縱又
以較為旁負縱長乗求廣則以十乗較為帶縱又以
較為旁帶縱依例開之
長方匿原積以長乗重長重廣積步及和或以廣乗重
長重廣積步及和求長廣 此與前一條相似而不
同以長乗者但可求長以廣乗者但可求廣隅算及/負隅無
[006-58a]
旁加者勢不能也故長乗不便/於求廣廣乗不便於求長矣法亦以乗積為實而
長乗求長則以廣數乗和為帶縱廣乗求廣則以長
數乗和為帶縱又以長廣數相減餘數為隅算不足
數為負隅求長取長求廣取廣為之乃用隅算帶縱
并方亷或用帶縱負隅減縱及翻法開之如六長三
廣長乗求長則以三乗和為帶縱以三為隅算六長/三廣
相減長餘三以為隅算之數葢/并三長於帶縱得六長三廣也廣乗求廣則以六乗
和為帶縱以三為負隅六長三廣相減廣不足三以/為負隅之數葢減三廣於帶
[006-58b]
縱亦得六/長三廣也開之是也 右法長廣所乗若更兼重和
重較者先約和較為長廣而約得餘較如前九長一
較之比亦别有法且如九長一較長乗求長則以一
乗和為負縱以十一為隅算減一長一廣於隅/算得九長一較也廣乗
求廣則以十乗和為帶縱以十一為負隅減十一廣/於帶縱亦
得九長/一較也依例開之
九章録要卷六
