[003-1a] 
欽定四庫全書
數學鑰卷三凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一則
設一數與甲乙兩率為同名與丙丁兩率為異名置所
設之數為實以甲乘丙除曰同乘異除以丙乘甲除
曰異乗同除以丙乘甲得數乘實曰異乘同乘與以/丙乘
[003-1b]
復以甲/乘同以丙乘甲得數除實曰異除同除與以丙除/復以甲除
同/以丙乘丁除曰異乘異除以甲乘乙除曰同乘同
除
二則
設一數以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五
率除六率乘方得所求變為以四率乘二率復以六
率乘之得數乘實以三率乘一率復以五率乗之得
數除實即得所求亦曰同乘同除
三則
[003-1b]
凡用一率除二率乘者則變為先以二率乘後以一率
[003-2a]
除凡用一率除復用二率除者則變為以一率乘二
率得數除實恐歸除多有畸零不盡之數也
四則
設甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰逓乘以甲乘乙
以乙乘丙以丙復乘甲曰維乘以甲乘乙復以乙乘
甲曰互乘以甲乘乙復乘丙曰遍
五則
命分數曰母得分數曰子母數者子之本數子數者母
[003-2b]
之分數
六則
設兩數一為法一為實以法除實得若干將法實任各
若干倍之以倍法除倍實必仍得若干與原得數同
若以倍法除元實則得數小于元得數之倍數即同
元法小于倍法之倍數若以元法除倍實則得數大
于元得數之倍數即倍實大于元實之倍數如元實
為六十元法為五十以五十除六十得十二任三倍
元實為一百八十亦三倍元法為一百五十以一百
[003-2b]
五十除一百八十亦得十二與元得數同以倍法一
[003-3a]
百五十除元實六十得四則四與元得數十二之比
例若元法五十與倍法一百五十也以元法五十除
倍實一百八十得三十六則三十六與元得數十二
之比例若倍實一百八十與元實六十也
[003-3b]
數學鑰巻三凡例
[003-4a]
欽定四庫全書
數學鑰巻三上目録
柘城杜知耕撰
粟布
一則糴糶一法
二則糴糶二法
三則糴糶三法
四則糴糶四法
[003-4b]
五則糴糶五法
六則糴糶六法
七則糴糶七法
八則糴糶八法
九則撞換一法
十則撞換二法
十一則撞換三法
十二則盤量倉窖
十三則布帛
[003-4b]
十四則銀色一法
[003-5a]
十五則銀色二法
十六則銀色三法
十七則銀色四法
十八則銀色五法
十九則銀色六法
二十則斤兩一法
二十一則斤兩二法
二十二則斤兩三法
[003-5b]
二十三則斤兩四法
二十四則斤兩五法
二十五則斤兩六法
二十六則權重一法
二十七則權重二法
増/二十八則權重三法
巻三下目録
衰分
一則合率差分
[003-5b]
二則折半差分
[003-6a]
三則四六差分
四則三七差分
五則二八差分
六則逓減差分一法
七則逓減差分二法
八則逓減差分三法
九則帶分子母差分一法
十則帶分子母差分二法
[003-6b]
十一則互和逓減差分一法
十二則互和逓減差分二法
十三則匿價差分一法
十四則匿價差分二法
十五則二色差分
十六則三色差分四色五色六色附/
十七則貴賤和率差分
十八則首尾和率差分
附分法
[003-6b]
一則命分
[003-7a]
二則約分
三則乗分
四則課分
五則通分
[003-7b]
數學鑰巻三目録
[003-8a]
欽定四庫全書
數學鑰巻三上
柘城杜知耕撰
粟布
一則
糴糶一法
設粟三十五石每石價銀二錢五分求共銀法曰置
粟為實以價乘之得八兩七錢五分即所求
[003-8b]
二則
糴糶二法
設粟三十五石賣銀八兩七錢五分求每石價法曰
置銀為實以粟除之得二錢五分即所求
三則
糴糶三法
設粟每石價銀二錢五分今有銀八兩七錢五分求
值粟法曰置銀為實以價除之得三十五石即所求
四則
[003-8b]
糴糶四法
[003-9a]
設銀八兩七錢五分共買粟三十五石求每銀一兩
值粟若干法曰置粟為實以銀除之得四石即所求
解曰凡以物交易或論箇論斛論斤論尺之類莫不
有數有價以價乘共物則得共銀以價除共銀則得
共物以共物除共銀則得每一物所值之價以共銀
除共物則得每銀一兩或一錢或一分所值之物交
易常用之法盡于此矣
五則
[003-9b]
糴糶五法
設原有粟二石六斗賣銀六錢五分今有粟三十五
石求值銀法曰置今粟為實以原價乘之得二十二/兩七錢五
分/以原粟除之得八兩七錢五分即所求
解曰此異乘同除也銀與粟異名以原銀乘今粟故
謂異乘粟與粟同名以原粟除今粟故謂同除若以
原粟除原價得每石價以乘今粟或先以原粟除今
粟再以原價乘之俱未嘗不合但先用歸除恐遇竒
零不盡之數難用乘法故變為先乘後除也
[003-9b]
六則
[003-10a]
糴糶六法
設原有銀三十兩零七錢五分買粟一百二十三石
今有銀八兩七錢五分求值粟法曰置今銀為實以
原粟乘之得一千零七十/六兩二錢五分以原銀除之得三十五石
即所求
解同前
七則
糴糶七法
[003-10b]
設原銀五錢買米一石每米八斗五升換粟一石七
斗今有銀八兩七錢五分求值粟法曰以今銀八兩
七錢五分乘粟一石七斗得一十四兩八/錢七分五釐為實以米
價五錢乘米八斗五升得四錢二/分五釐為法除之得三十
五石即所求
解曰米八斗五升粟一石七斗其價等法以米價乘
米所得之四錢二分五釐既為八斗五升之米價亦
一石七斗之粟價也以粟乘銀以價除之亦異乘同
除法也
[003-10b]
八則
[003-11a]
糴糶八法
設粟一石七斗換米八斗五升每米一石價銀五錢
今有粟三十五石求值銀法曰置米八斗五升以米
價五錢乘之得四錢二/分五釐再以今粟三十五石乘之得/一
十四兩八錢/七分五釐為實以粟一石七斗除之得銀八兩七
錢五分即所求
解同前
九則
[003-11b]
撞換一法
設稻每石價六錢二分五釐粟每石價二錢五分今
有稻一十四石換粟求粟數法曰置稻一十四石為
實以稻價乘之得八兩七/錢五分以粟價除之得三十五石
即所求
十則
撞換二法
設每菽三斗換黍二斗每黍四斗換稷三斗每稷五
斗換稻四斗每稻六斗換麥五斗今有麥七斗換菽
[003-11b]
求菽數法曰以今麥七斗乘每稻六斗得四石/二斗再以
[003-12a]
每稷五斗乗之得二十/一石再以每黍四斗黍之得八十/四石
再以每菽三斗乘之得二百五/十二石為實以換黍二斗乘
換稷三斗得六/斗再以換稻四斗乘之得二石/四斗再以換
麥五斗乘之得一十/二石為法除之得二石一斗即所求
解曰若置麥七斗為實以換麥五斗除之以每稻六
斗乘之得八斗四升為麥七斗應換之稻再以八斗
四升為實以換稻四斗除之以每稷五斗乘之得一
石零五升為麥七斗應換之稷再以一石零五升為
[003-12b]
實以換稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗
為麥七斗應換之黍再以一石四斗為實以換黍二
斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗為麥七斗應
換之菽凡四除四乘方得菽數今逓乘為實逓乘為
法一次歸除即得所求非徒省力亦免遇畸零之數
難於布算耳
十一則
撞換三法
設黍一石換菽三石每黍三石換麥一石今黍三十
[003-12b]
三石共換菽麥一十九石求菽麥各若干法曰列黍
[003-13a]
三石黍一石共黍
三十三石于左列
麥一石菽三石共
菽麥一十九石于
右先以右上互乘
左中仍得/一石以左上互乘右中得九/石兩數相減餘八/石為
長法次以左中互乘右下仍得一/十九石以右中互乘左下
得九十/九石兩數相減餘八/十石以長法除之得一/十石為短法以
[003-13b]
麥一石乘短法仍得十石為麥數以黍三石乘短法
得三十石為換麥黍數以麥數減共菽數餘九石為
菽數以換麥黍數減共黍餘三石為換菽黍數解見/三巻
下十/七則
十二則
盤量倉窖
設直倉底長七尺濶五尺髙八尺求容粟數法曰以
底濶乘長得三十/五尺再以髙乘之得二百/八十尺為實取木板
四塊如圖錯綜合之令縱廣及髙各一尺納粟于内
[003-13b]
令平以升量之假如一斗二升即以之為法乘實得
[003-14a]
三十三石六
斗即所求
解曰倉窖形
狀不一求積
法俱詳四巻
十三則
布帛
設原買布長四十尺濶二尺二寸價銀七錢五分今
[003-14b]
有布長三十六尺濶一尺八寸求價法曰置今布長
三十六尺以濶一尺八寸乘之得六十四/尺八寸再以原價
七錢五分乘之得四十八/兩六錢為實另置原布長四十尺
以濶二尺二寸乘之得八十/八尺為法除實得五錢五分
二釐二毫有竒即所求
十四則
銀色一法
設九三色銀一兩二錢傾銷足色求銀數法曰置銀
一兩二錢為實以銀色九三乘之得一兩一錢一分
[003-14b]
六釐即所求
[003-15a]
十五則
銀色一法
設足色銀一兩一錢一分六釐改傾九三色求銀數
法曰置銀一兩一錢一分六釐為實以九三除之得
一兩二錢即所求
十六則
銀色三法
設八五色銀五兩六錢改傾九五色銀求銀數法曰
[003-15b]
置銀五兩六錢為實以八五乘之得四兩七/錢六分再以九
五除之得五兩零一分零五毫即所求
十七則
銀色四法
設足色銀七兩六錢五分傾成九兩求銀色法曰置
銀七兩六錢五分為實以九兩除之得八五即所求
十八則
銀色五法
設足色銀三十五兩二錢改傾八八色銀求加銅數
[003-15b]
法曰置銀三十五兩二錢為實以八八除之得四/十兩與
[003-16a]
原銀相減餘四兩八錢即所求
十九則
銀色六法
設傾八八色銀用銅四兩八錢求用銀數法曰置銅
四兩八錢為實以八八與一兩相減餘一錢二分為
法除之得四/十兩與銅數相減餘三十五兩二錢即所求
二十則
斤兩一法
[003-16b]
設物重一千四十兩求斤法曰置物重為實以斤法
十六除之得六十五斤即所求
二十一則
斤兩二法
設物重六十五斤求兩法曰置物重為實以斤法十
六乘之得一千四十兩即所求
二十二則
斤兩三法
設物重六十五斤四兩每斤價二錢五分求共價法
[003-16b]
曰先取四兩以斤法十六除之得二/五並六十五斤之
[003-17a]
下成六五/二五為實以價乘之得一十六兩三錢一分二
釐五毫即所求
二十三則
斤兩四法
設物每斤價二錢五分今銀一十六兩三錢一分二
釐五毫求值物重法曰置今銀為實以價為法除之
得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得
四兩共六十五斤四兩即所求
[003-17b]
二十四則
斤兩五法
設物每斤價四兩求每兩價法曰置每斤價為實以
斤法十六除之得二錢五分即所求
二十五則
斤兩六法
設物每兩價二錢五分求斤價法曰置每兩價為實
以斤法十六乘之得四兩即所求
二十六則
[003-17b]
權重一法
[003-18a]
設秤原錘重二十六兩遇重物不能勝另取一物重
四十六兩八錢作錘秤之得一千零七十二兩求物
重真數法曰置物重一千零七十二兩為實以借用
作錘之四十六兩八錢乘之得五萬零一百/六十九兩六錢再以原
錘二十六兩除之得一千九百二十九兩六錢即所
求
解曰借用之錘重于原錘若干倍則借用之錘所秤
之物重亦重于原錘所秤之物重若干倍以原錘除
[003-18b]
借用之錘得一八是借用之錘重於原錘十分之八
也則于借用錘所秤之一千零七十二兩以十分之
八加之必得一千九百二十九兩六錢為原錘所秤
之重法先乘後除者亦異乘同除也本巻/五則
二十七則
權重二法
設秤失其錘止有原秤過輕重二物重者重一千九
百二十九兩六錢輕者重四十六兩八錢以輕者作
錘秤重者得一千零七十二兩求原錘重法曰置四
[003-18b]
十六兩八錢為實以一千零七十二兩乘之得五萬/零一百
[003-19a]
六十九/兩六錢以一千九百二十九兩六錢除之得二十六
兩即所求
解曰一千九百二十九兩六錢之與一千零七十二
兩若四十六兩八錢之與原錘也故以之乘除得原
錘之重
二十八則
權重三法
設秤失其錘有輕重兩物不知斤兩以輕者作錘秤
[003-19b]
重者得五十二兩以重者作錘秤輕者得一十三兩
求原錘重法曰置兩數相乘得六百七/十六兩平方開之得
二十六兩即所求
解曰兩數之中率即原錘之重兩數相乘平方開之
求中率之法也二巻十/六則○又法以等重二物一作錘
一作物秤之所得之數即原錘之重○按以上三法
用之于平星提索同居一位之秤雖有微差尚可得
近似之數至于平星提索不同一位相去愈逺其差
愈多甚至與真數懸絶留心此道者不可不知也
[003-19b]
數學鑰巻三上
[003-20a]
欽定四庫全書
數學鑰巻三下
柘城杜知耕撰
衰分諸分/附
一則
合率差分
設有銀一百二十一兩一錢七分五釐買稻麥菽三
等糧買稻一分每斗價九分二釐麥二分毎斗價八
[003-20b]
分五釐菽三分每斗價三分六釐求三色糧各若干
法曰置共銀為實另二因麥價得一錢/七分三因菽價得/一
錢零/八釐與稻價並共三錢/七分為法除實得三十二石七斗
五升為稻數二因稻數得六十五石五斗為麥數三
因稻數得九十八石二斗五升為菽數
解曰稻一麥二菽三共六衰而稻為六分之一麥為
六分之二菽為六分之三二因麥價者令麥二倍于
稻也三因菽價者令菽三倍于稻也合二與三得五
是麥菽得五而稻得一則稻為六分之一矣故並價
[003-20b]
除實即得稻數也麥原二倍于稻故二因稻數得麥
[003-21a]
數菽原三倍于稻故三因稻數得菽數○如求各銀
數則以各價乘各數即得
二則
折半差分
設銀六百七十二兩令甲乙丙三等人折半納之求
各應納銀數法曰置共銀為實定丙為一衰乙倍丙
為二衰甲倍乙為四衰並之共七衰為法除實得九
十六兩為丙數二因丙數得一百九十二兩為乙數
[003-21b]
二因乙數得三百八十四兩為甲數
解曰所謂折半者令乙半於甲丙半於乙以一為丙
衰倍一得二為乙衰乙倍于丙即丙半於乙也倍二
得四為甲衰甲倍于乙即乙半于甲也並之共得七
衰而丙為七分之一故以七除實得丙數餘同前解
三則
四六差分
設銀八百一十二兩五錢令甲乙丙丁四等人四六
納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定丁為四
[003-21b]
衰以一五乘四得六為丙衰再以一五乘六得九為
[003-22a]
乙衰再以一五乘九得十三衰五分為甲衰並之共
三十二衰五分為法除實得二十五兩為一衰之數
四因二十五兩得一百兩為丁數六因二十五兩得
一百五十兩為丙數九因二十五兩得二百二十五
兩為乙數以十三衰五分乗二十五兩得三百三十
七兩五錢為甲數
解曰定衰之法當六乘四除今用一五乘何也葢四
之于六若一與一五也以一五乘四得六乘六得九
[003-22b]
乗九得十三五而十三五之與九九之與六皆若六
之與四也並四數共三十二衰半除實所得銀數即
原銀三十二分五釐之一而丁應納者則三十二分
五釐之四故四因一衰之數得丁數也餘同前解
四則
三七差分
設有銀一千九百七十五兩令甲乙丙三等人三七
納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定丙為九
衰七因三歸得二十一為乙衰再七因三歸得四十
[003-22b]
九為甲衰並之共七十九衰為法除實得二十五兩
[003-23a]
為一衰之數九因之得二百二十五兩為丙數以二
十一乘之得五百二十五兩為乙數以四十九乘之
得一千二百二十五兩為甲數
解曰不以三為丙衰而以九為丙衰者以三為丙衰
則不能得甲衰也何也試定三為丙衰七為乙衰七
因三歸則得一六三三不盡定九為丙衰正為甲衰
地也若甲乙丙丁四位則九又不可為丁衰必三倍
之得二十七為丁衰若五位又三倍二十七得八十
[003-23b]
一為戊衰位多者倣此
五則
二八差分
設有銀一千零五十兩令甲乙丙三等人二八納之
求各應納銀數法曰置共銀為實先定二為丙衰四
因二得八為乙衰四因八得三十二為甲衰並之共
四十二衰為法除實得二十五兩為一衰之數二因
之得五十兩為丙數八因之得二百兩為乙數三十
二乘之得八百兩為甲數
[003-23b]
解曰逓以四因定衰者以八四倍于二也
[003-24a]
六則
逓減差分一法
設米一千一百三十四石令五等人户逓減納之一
等二十四戸二等三十三戸三等四十二戸四等五
十一戸五等六十户求毎等及毎戸應納銀數法曰
置共米為實先定五等六十戸為六十衰二因四等
戸數得一百零二衰三因三等戸數得一百二十六
衰四因二等戸數得一百三十二衰五因一等戸數
[003-24b]
得一百二十衰五數並共五百四十衰為法除實得
二石一斗為第五等每戸納數以五等六十戸乘之
得一百二十六石為第五等共納數以二因二石一
斗得四石二斗為第四等毎戸納數以四等五十一
戸乘之得二百一十四石二斗為第四等共納數以
三因二石一斗得六石三斗為第三等毎戸納數以
三等四十二戸乘之得二百六十四石六斗為第三
等共納數以四因二石一斗得八石四斗為第二等
每户納數以二等三十三戸乗之得二百七十七石
[003-24b]
二斗為第二等共納數以五因二石一斗得十石零
[003-25a]
五斗為第一等每戸納數以一等二十四戸乘之得
二百五十二石為第一等共納數
解同本巻一則
七則
逓減差分二法
設有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人納之定甲
乙二人納數與丙丁戊三人納數等求各應納米數
法曰置共米為實先以一為戊衰二為丁衰三為丙
[003-25b]
衰四為乙衰五為甲衰次並戊一丁二丙三得六並
乙四甲五得九以六減九餘三于每人衰數各増三
戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰
並之共三十衰為法除實得八石為一衰之數四因
之得三十二石為戊數五因之得四十石為丁數六
因之得四十八石為丙數七因之得五十六石為乙
數八因之得六十四石為甲數
解曰若六位令丙丁戊己四人與甲乙二人納數等
則並己一戊二丁三丙四共十並乙五甲六共十一
[003-25b]
兩數相減餘一為實另以甲乙二人與丙丁戊己四
[003-26a]
人相減餘二人為法歸之得五各加入每人衰數己
得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲
得六五若七位令丙丁戊己庚五人與甲乙二人納
數等並庚一己二戊三丁四丙五共十五並乙六甲
七共十三是四人衰數反多于二人衰數前法不行
矣則置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六
丙得二十五並之共五十五乙得三十六甲得四十
九並之共八十五兩數相減餘三十為實另以甲乙
[003-26b]
二人與丙丁戊己庚五人相減餘三人為法歸之得
十各加入每人衰數庚得十一己得十四戊得十九
丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九
餘倣此
八則
逓減差分三法
設米二百六十五石令三等人戸納之上等二十戸
每戸多中等七斗中等五十戸每戸多下等五斗下
等一百一十戸求各應納米數法曰置共米為實並
[003-26b]
七斗五斗共一石/二斗乘上等尸數得二十/四石以五斗因中
[003-27a]
等尸數得二十/五石兩數並共四十/九石減實餘二百一十六
石並三等尸數共一百/八十戸為法除之得一石二斗為下
等納數加五斗共一石七斗為中等納數再加七斗
共二石四斗為上等納數以每等納數乘每等戸數
得每等共納數
解曰共米内減去上中兩等多于下等米數所餘即
一百八十戸均平公納之米除實得一石二斗即
每戸均納之數均納之數即下等每戸應納之數也
[003-27b]
故加五斗得中等每戸納數再加七斗得上等每戸
納數
九則
帶分子母差分一法
設甲乙丙三人納銀令乙納甲數六分之五丙納甲
數四分之三乙多丙納銀八兩求共銀及各應納銀
數法曰列母四子三于左母六子五于右右上互乘
左下得十八左上互乘右下得二十左上右上相乘
得二十四以十八減二十餘二為法另以乙多丙八
[003-27b]
兩乘二十四得一百九/十二兩以法除之得九十六兩即甲
[003-28a]
數以八兩乘二十得一百/六十兩
以法除之得八十兩即乙
數以八兩乘十八得一百/四十四
兩/以法除之得七十二兩
即丙數並之得二百四十
八兩即共銀數
解曰此借比例以求真數也二十四與二十六分之
五也二十四與十八四分之三也六分之五之二十
[003-28b]
較四分之三之十八多二六分之五之乙數較四分
之三之丙數却多八兩則二十四之與甲數二十之
與乙數十八之與丙數其比例必皆若二與八也故
八乘二除各得真數也
十則
帶分子母差分二法
設布一十二萬四千四百八十五疋給散軍士每三
名給襖布七疋每四名給褲布五疋求軍數法曰列
三名七疋于右四名五疋于左右上互乘左下得十/五
[003-28b]
左上互乘右下得二/十八並之共四/十三為法另以左上右上
[003-29a]
相乘得一/十二以乘共布得一/百四
十九萬三千/八百二十疋以法除之得
三萬四千七百四十名即
所求
解曰十二為三名者四當
給襖布二十八疋為四名者三當給褲布一十五疋
是毎軍士十二名給布四十三疋也反之每給布四
十三疋得軍士一十二名也故十二乘四十三除得
[003-29b]
軍數也
十一則
互和逓減差分一法
設米一百八十石令甲乙丙三人逓減納之定甲多
丙米三十六石求各應納米數法曰置共米以人數
歸之得六十石為乙數另置甲多丙數折半得一十/八石
加乙數得七十八石為甲數減乙數得四十二石為
丙數
解曰甲多于乙數必為甲多于丙數之半丙少于乙
[003-29b]
數亦必為丙少于甲數之半兩相折凖是甲丙共得
[003-30a]
三分之二而乙自得三分之一故三歸之得乙數加
減之得甲與丙數也
十二則
互和逓減差分二法
設令甲乙丙丁四人逓減納銀定甲納六十九兩丁
納五十一兩求乙丙應納數及共銀數法曰以丁數
減甲數餘一十/八兩三歸之得六兩加丁數得五十七兩
為丙數加丙數得六十三兩為乙數並之共二百四
[003-30b]
十兩為共銀數
解曰甲多于乙乙多于丙丙多于丁三數並與甲多
于丁數等故三歸得每率逓差之數凡四位以上皆
取首尾兩數相減五位則四歸之六位則五歸之七
位則六歸之即得每率逓差之數餘同前
十三則
匿價差分一法
設銀一百八十兩零二錢五分買麥六十五石菽二
十五石麥每石多菽價一兩零七分求各價法曰置
[003-30b]
麥以麥多菽價乗之得六十九兩/五錢五分以減元銀餘一百/一十兩
[003-31a]
零七/錢並麥菽兩數除之得一兩二錢三分即菽價加
麥多菽價得二兩三錢即麥價
解曰減去麥多菽價餘銀即菽九十石之共價故以
九十石歸之得菽價
十四則
匿價差分二法
設稻一十八石稷二十二石其值適等交換五石則
兩率差銀一兩六錢二分五釐求各價法曰置一兩
[003-31b]
六錢二分五釐以交換五石歸之得三錢二分五釐
以乗稻一十八石得五兩八/錢五分另以稻一十八石減稷
二十二石餘四石為法除之得一兩四錢六分二釐
五毫即稷價另以三錢二分五釐乗稷二十二石得/七
兩一錢/五分以前法除之得一兩七錢八分七釐五毫即
稻價
解曰交換五石兩率相差一兩六錢二分五釐則一
兩六錢二分五釐必稻五石多稷五石之價也以五
歸之得三錢二分五釐即稻稷每石相差之價稻稷
[003-31b]
既每石相差三錢二分五釐則一十八石必差五兩
[003-32a]
八錢五分矣今稷多稻四石而價適等是稷四石之
價必五兩八錢五分也故四歸之得稷價又稻與稷
價之比例原若十八與二十二既以三錢二分五釐
乗稻一十八石得稷每四石之價則以三錢二分五
釐乗稷二十二石必得稻每四石之價無疑矣故四
歸之得稻價
十五則
二色差分
[003-32b]
設銀六十七兩五錢共買稻菽一百石稻毎石價八
錢菽毎石價三錢求稻菽各若干法曰以菽價乗共
一百石得三/十兩以減原銀餘三十七/兩五錢為實以兩價相減
餘五/錢為法除之得七十五石即稻數以減共一百石
餘二十五石即菽數
解曰原銀為稻菽共百石之價以菽價乗百石為菽
百石之價兩率不等者以稻貴于菽也今稻毎石多
菽價五錢是兩率毎相差五錢百石内必有稻一石
兩率相減餘銀三十七兩五錢凡為五錢者七十五
[003-32b]
故得稻七十五石也
[003-33a]
十六則
三色差分四色五色/六色附
設銀十兩零五錢共買稻麥菽一十八石稻每石價
八錢麥每石價六錢菽毎石價三錢求三色各若干
法曰置共糧以三歸之得六石為麥數以麥價因之
得三兩六錢為麥共價另以麥數減共糧餘一十/二石以
菽價因之得三兩/六錢另以麥共價減原銀餘六兩/九錢兩數
相減餘三兩/三錢為實稻菽兩價相減餘五/錢為法除之得
[003-33b]
六石六斗為稻數以稻麥兩數減共糧餘五石四斗
為菽數
解曰若四色則四歸共物得若干即第二色數亦即
第三色數以第二色價乗之得第二色共價以第三
色價乗之得第三色共價以兩數減共物兩共價減
原銀餘依二色差分法求之五色則五歸六色則六
歸之倣此○按三色以上亦可與共物共價相合無
差然實非一定不易之數即前三色論之設稻九石
共價七兩二錢麥二石共價一兩二錢菽七石共價
[003-33b]
二兩一錢亦與原銀共糧共價皆合而與上法所求
[003-34a]
三色之數不同
十七則
貴賤和率差分
設銀一百二十七兩五錢共買稻麥一百零八石毎
稻三石價四兩毎麥四石價三兩五錢求二色數及
價各若干法曰列稻三石麥四石共稻麥一百零八
石于右次列稻價四兩麥價三兩五錢原銀一百二
十七兩五錢于左以右上互乘左中得十兩/零五錢以左上
[003-34b]
互乘右中得一十/六兩兩數相減餘五兩五錢為長法次
以右中互乗左下
得五百/一十兩以左中互
乗右下得三百七/十八兩
兩數相減餘一百/三十二
兩/以長法除之得
二十四為短法以稻三石乗短法得七十二石即稻
數以稻價乗短法得九十六兩即稻共價以稻數減
共稻麥一百零八石餘三十六石即麥數以稻共價
[003-34b]
減原銀一百二十七兩五錢餘三十一兩五錢即麥
[003-35a]
共價
解曰此與前二色差分同但彼數齊此數不齊耳凡
數之不齊者必假一數以齊之今稻三石麥四石則
以十二齊之何為必齊之十二也十二為四倍稻三
石三倍麥四石之數也以稻三乗麥價即得麥十二
石之價以麥四乗稻價即稻十二石之價兩數相減
為長法者即稻十二石多于麥十二石之銀數亦即
稻四石多于麥四石之價又三倍之之數也以麥價
[003-35b]
乗共稻麥一百零八石即麥四百三十二石之價亦
即一百零八石盡皆為麥而又四倍其價之數也以
麥四乗原銀即稻麥四百三十二石之共價亦即稻
麥一百零八石之原價而又四倍之之數也兩數相
減之餘即麥四百三十二石少于稻麥共四百三十
二石之價實即稻七十二石多于麥七十二石之價
又四倍之之數也以之為實若以稻四石多于麥四
石之價除之必得稻七十二石今稻四石多于麥四
石之價不可得止得稻十二石多于麥十二石之價
[003-35b]
為長法除實得二十四二十四者即為稻三石者二
[003-36a]
十四也十二石三倍多于四石二十四三倍少于七/十二石葢法増若干倍得數即減若干倍也
故為短法以稻三石乗之得稻數以稻價乗之得共
稻價○若欲先得麥數則以稻三石乗元銀以稻價
乗共稻麥數兩數相減以長法除之得數為短法以
麥四石乗之得麥數以麥價乗之得共麥價解同/前○
按此條當列稻三石價四兩共稻麥一百零八石于
右列麥四石價三兩五錢共銀一百二十七兩五錢
于左以左上互乗右中得一十/六兩以右上互乗右中得/十
[003-36b]
兩零/五錢兩數相減餘五兩/五錢為法次以左上右上相乗得/一
十二/石以乗左下得/一
千五百/三十兩以左中十
兩零五錢乗右下
得一千一百/三十四兩兩數
相減餘三百九/十六兩為
實以法除之得七十二石即稻數似較舊法更捷○
舊法以十二倍之法除四倍之實故止得二十四以
稻三石乗之方得稻數後法以十二倍之法除十二
[003-36b]
倍之實故一除即得稻數無須再乗也
[003-37a]
十八則
首尾兩和差分
設十人挨次逓減納銀甲乙丙三人共納一十三兩
八錢庚辛壬癸四人共納一十三兩求各應納銀數
法曰列三人于右
上定甲九衰乙八
衰丙七衰共二十
四衰列于右中三
[003-37b]
人納數列于右下
次列四人于左上定庚三衰辛二衰壬一衰共六衰
列于左中四人納數列于左下先以右上徧乗左行
中得一十八衰下/得三十九兩六錢次以左上徧乗右行中得九十六/衰下得五十
五兩/二錢以兩下對減餘一十五/兩六錢為實兩中對減餘七十/八衰
為法除之得二錢為十人挨次/逓減之數另以右上歸右下得
四兩六錢為乙數加乙二錢得四兩八錢為甲數减
乙二錢得四兩四錢為丙數減丙二錢得四兩二錢
為丁數以下各逓減二錢得應納銀數
[003-37b]
解曰首三人尾四人兩數不齊不可相減以求首尾
[003-38a]
相差之數故互乗以齊之夫左下尾四人共納之銀
數也以右上三人乗之得三十九兩六錢即三倍尾
四人為一十二人之納數右下首三人共納之銀數
也以左上四人乘之得五十五兩二錢即四倍首三
人亦為一十二人之納數對減之餘即首十二人多
于尾十二人之納數故以為實左中尾四人之衰數
以右上三人乗之得十八即三倍尾四人為一十二
人之衰數右中首三人之衰數以左上四人乗之得
[003-38b]
九十六即四倍首三人亦為一十二人之衰數對減
之餘即首十二人多于尾十二人之衰數故以為法
以法除實所得非一衰之銀數而何一衰之銀數即
十人挨次逓減之數也以右上三人歸右下納數即
得乙數何也葢乙多于丙者即甲多于乙者也減甲
之多補丙之少則成三平數乙居甲丙之中故三歸
之得平數即得乙數也
[003-38b]
數學鑰巻三下
[003-39a]
欽定四庫全書
數學鑰巻三附
柘城杜知耕撰
分法
一則
命分
設銀四十兩三人分之求毎人應分銀數法曰置銀
為實以人數除之得一十三兩餘一不盡則以法為
[003-39b]
分母以不盡之一為分子命為一十三兩又三分兩
之一
解曰三分兩之一即三錢三分三三不盡
二則
約分
設以九十八為法除實不盡者四十二求約若干法
曰以子四十二減母九十八餘五/十六再減之餘一十四
復以母十四減子四十二餘二/十八再減之亦餘一十四
謂之子母相同即以十四為法除母九十八得七除
[003-39b]
子四十二得三即命為七分之三
[003-40a]
解曰母數九十八是七箇十四子數四十二是三箇
十四九十八之與四十二若七之與三也故命為七
分之三遇不可約之數直以本數命之如母九十七
子四十二此數之不可約者也直命為九十七之四
十二
三則
乘分
設一十八人分銀毎人分得三百七十六兩又九分
[003-40b]
兩之六求共銀法曰置三百七十六兩為實以母九
因之得三千三百/八十四兩加入子六共三千三/百九十兩以人數乘之
得六萬一千/零二十兩再以母九歸之得六千七百八十兩即
所求
解曰不以母因實則不能加入子數故因實以就子
也
四則
課分
設有布二疋又九分疋之五用過一疋又六分疋之
[003-40b]
一求餘布法曰置用過布一疋以母六因之仍得/六加
[003-41a]
入子一共/七又以原布母九因之得六/十三另置原布二疋
以母九因之得一/十八加入子五共二/十三又以用過布母六
因之得一百/三十八兩數相減餘七/十五為實以兩母謂九/與六相乘
得五/十四為法除之得一疋零二十一以約分法約之得
十八之七即命為餘布一疋又十八分疋之七
解曰兩數各帶子母不得不兩因之兩因之不得不
兩歸之法以兩母相乘除實者與兩歸得數同也
五則
[003-41b]
通分
設粟四十五石毎七分石之五值銀八分兩之六求
共銀法曰置粟為實以粟母七乘銀子六得四/十二為法
乘實得一千八/百九十另以銀母八乘粟子五得四/十為法除
之得四十七兩二錢五分即所求
解曰原當置粟為實以粟母七乘之粟子五除之求
得共粟七分之五再以銀子六乘之銀母八除之即
得銀數然既以粟母七乘之又以銀子六乘之不如
以粟母七乘銀子六以乘之也既以粟子五除之又
[003-41b]
以銀母八除之不如以銀母八乘粟子五以除之也
[003-42a]
[003-42b]
數學鑰巻三附
