[003-1a] 
欽定四庫全書
益古演叚卷下 元 李冶 撰
第四十三問
今有圓田三叚一依古法一依/宻率一依徽率共計地二十畆五十二
步一百七十五分步之二十三只云宻徑多於古徑
九步徽徑多於宻徑九步問三徑各多少
答曰古徑三十六歩 宻徑四十五步 徽徑五
十四步
[003-1b]
法曰立天元一為古徑加多九步得
□丨為宻徑以自之得下□□丨為
宻徑冪又以十一乗之得□□□為
十四叚宻圓積於頭又立天元古徑
加二之多步一十八步得□丨為徽
徑以自之得□□丨為徽徑冪也又
以一百五十七乗之得□□□為二
百叚徽圓積於中按徽率周一百五/十七徑五十徑乗
[003-2a]
周四歸為圓冪今以徑冪乗周當以徑五十除之再/四歸之為圓冪不除便為五十乗之又四乗之之二
百圓/冪也又置天元古徑以自之又三之得元/○□為四叚
古圓積於下乃求三積齊同分母而併之先以分母
一萬七千五百按此即十四除二/十四萬五十之數乗十四叚宻圓積
得□□□為二十四萬五千叚宻圓積於頭位次以
分母一千二百二十五乗二百叚徽積得□□□為
二十四萬五千叚徽積於中位次以分母六萬一千
二百五十乗四叚古積得○○□為二十四萬五千
[003-2b]
叚古積於下位三位相併得□□□為二十四萬五
千叚如積數寄左然後列見積通分内子得八十四
萬九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十
一億八千八百七十七萬二千二百與左相消得下
式□□□平方開之得三十六步為方徑也各加多
步見徽宻二徑也 義曰所以齊同於二十四萬五
千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此數
依條叚求之以一千四百乗田積於頭位置徽徑多
[003-3a]
古徑自之為冪又以一千九十九按置一千四百分/以徽圓冪率一百
五十七乗之方冪/率二百除之即得乗之減頭位續置宻徑多古徑自
之為冪又以一千一百按置/冪十一千四百分以宻率圓/乗之方冪十四除之
即/得乗之復減頭位餘為實又倍徽徑多古徑以千九
十九乗之為徽從又倍宻徑多古徑以一千一百乗
之為宻從併二從得五萬九千三百六十四為從法
亷常置三千二百四十九
義曰以一千四百乗積者取其三率皆可以除之也
[003-3b]
齊同分母湏至於二十四萬五千
叚者葢以分母一百七十五元乗
積數一千四百此二數相乗得二
十四萬五千也
此問求真積實數 古徑三十六得積九百七十二
步 宻徑四十五步得積一千五百九十一步一十
[003-4a]
四分步之一 徽徑五十四步得積二千二百八十
九步二百分步之一十二併三積全步四千八百五
十二步外宻零一十四分步之一徽/零二百分步之一十二以上維乗下位
宻子得二百分八徽/子得一百六十 分相併得三百六十八分為子實
又上二位相乗得二千八百分為母法子母俱以十
六約之為一百七十五分步之二十三 一千四百
乗田積來厯盖只就宻率上定之也置一千四百在
地以宻率十一之如十四而一為一千一百積 若
[003-4b]
以古率三之四而一則得一千五十積 若以徽率
一百五十七乗之如二百而一得一千九十九積所
以用一千四百乗積者縁古法四徽法二百皆可以
除之也 求三積齊同分母元分母數一百七十五
元乗積數一千四百此二數相乗二十四萬五千即
大分母也三積總率皆齊同於此既得此齊同分母
乃各以先求到叚數約之徽率得一千二百二十五
宻率得一萬七千五百古率得六萬一千二百五十
[003-5a]
故反以乗叚數皆齊同於二十四萬五千也
按條叚分母數簡於前法者用舊術也然各分母
之數猶有可省者盖衆數取分母數必得最小者
方爲確凖其義見秦九韶數學九章大衍術中今
附其法於後以發明前法所未盡者
法列四數先以元母一百七十五與
宻方率十四相度得度盡二數之數
為七次以二數相乗以度盡數除之
[003-5b]
得三百五十為二數總母又以二數
總母與徽方率數相度得度盡二數
之數為五十以二數相乗度盡數除
之得一千四百為三數總母又以三
數總母與古方率數相度則古方率
四即為度盡二數之數二數相乗度
盡數除之仍得一千四百即為四數
總母然後以宻方率十四除之得一
[003-6a]
百為宻分母以徽方率二百除之得
七為徽分母以古方率四除之得三
百五十為古分母以元分母一百七
十五除之得八為原積分母以此數
與各叚冪積相乗除較原數所省多
矣
第四十四問
今有梯田一叚長二百四十步並不知東西兩濶只云
[003-6b]
從東頭截長五十步計地三畆從西頭截長三十步
計地五畆問二濶各多少
答曰東頭元濶一十一步二分 西頭元濶四十
一步九分二釐
法曰此問先湏求見兩頭各截之停廣求東截停廣
者置東頭所截三畆之積七百二十步以截長五十
步除之得一十四步四分為東截地之停廣也求西
截停廣者置西頭所截五畆之積一千二百步以截
[003-7a]
長三十步除之得四十步為西頭所
截停廣也乃立天元一為毎步之差
以東頭截長五十步乗之折半得□
以減東停廣一十四步四分得□分/
□為東頭元小濶於上再置天元差
步以西頭截長三十步乗之得□折半得□加入西
頭停廣四十步得□□為西頭大濶也内減東頭小
濶餘□步□為二濶總差也寄左再立天元毎步差
[003-7b]
以正長二百四十步乗之得□亦為二濶總差與左
相消得□步□下法上實如法而一得一分二釐八
毫為毎步之差也置毎步之差以西頭截長三十步
乗之得三步八分四釐折半得一步九分二釐加入
西頭停廣四十步得四十一步九分二釐為西頭元
大濶也又置毎步之差以東頭截長五十步乗之得
六步四分折半得三步二分以減於東頭停廣一十
四步四分餘一十一步二分為東頭元小濶也此問
[003-8a]
止求毎步之差更不湏以條叚明之
舊術依法求得東停廣與西停廣數乃以二停廣相
減餘以二百而一謂東截長五十步其停廣當二十/五步餘去了二十五步也西截長
三十步其停廣當一十五步餘去了一十五步也兩/頭計去了四十步以減於正長二百四十步餘二百
步/所得為毎步之差乃副置半步之差左以東截長
乗之以減東停廣餘為東元濶也右以西截長乗之
以加西停廣併為西元濶也又法置一步之差以正
長二百四十乗之所得為都濶差也以都濶差加於
[003-8b]
小頭濶則為大頭濶也
第四十五問
今有方田一叚中心有方田池占之外計地一畆只云
從外田東南隅至内池西南隅一十三步問内外田
方各多少
答曰内池方七步 外田方一十七步
法曰立天元一為内池方以自乗倍之得元/○□加入
見積得□□寄左又列至步自之得一百六十九步
[003-9a]
又倍之得三百三十八步與左相消
得□○□開平方得七步即内池方
也池方自之加入見積再開平方即
外田方面也
依條叚求之只據前式便是更不湏重畫也只是将
見積打作四叚小直田以池面為較以外田方面為
和以斜至步為弦然此問惟是其池正在方田中心
可依此法求之若稍有偏側則不能用也 舊術列
[003-9b]
去角步自乗為二位頭位減半田積開平方見内池
面下位加半田積開平方見外田面也
第四十六問
今有方圓田各一叚共計積一百二十七步只云其方
面大如圓徑圓徑穿方斜共得二十步問面徑各多
少
答曰方面一十步 圓徑六步
法曰立天元一為圓徑減穿步得□丨為方斜以自
[003-10a]
之得□□丨為方斜冪於頭再
置天元圓徑以自之又以一步
四分七釐乗之得□□步為展
起圓田也併入頭位得□□□
步為展數如積一叚寄左然後
列見積一百二十七步兩度下加四兩度下加四止/是以一步九分
六釐乗之也以一步九分六/釐乗之者變方田為斜田也得二百四十八步九分
二釐與左相消得下式□□□開平方得六步即圓
[003-10b]
徑也以徑減穿步即方斜也
依條叚求之穿步冪内減去展起見積為實二之
穿步為從二步四分七釐虛隅
義曰下式乃展起之圓
積也亦俱是減數也此
數該一步四分七釐之
方又從步内疊出一步
虚隅計得二步四分七釐常法也
[003-11a]
舊術曰以一步九分六釐乗田積為頭位又列穿步
自乗内減去頭位餘為實倍穿歩為從亷常置二歩
四分七釐減從開方
第四十七問
今有直田一叚中心有小方池結角占之外計地二千
七十九步只云從田二頭至池角二十一步半兩邉
至池角七步半問三事各多少
答曰長六十四步 濶三十六步 池方一十五步
[003-11b]
法曰立天元一為内方面身外加四
又加二之頭至步四十三得□□為
田長也又置池方面身外加四又加
入二之邉至步一十五得□□為田
濶也長濶相乗得下式□□□為直田積於頭又
置天元池方面以自之得元/○丨為内方池以減頭位
得□□□為如積一叚寄左然後列見積二千七十
九步與左相消得□□□開平方得一十五步即内
[003-12a]
池方面也方面外加四副二位若加兩頭至池步見
長若加兩邉至池步即見濶也
依條叚求之積步内減四叚邉至與頭至步相乗數為
實併至頭至步倍之又身外加四為從九分六釐常法
義曰水池外有九分六釐常法從
步皆加四者盖於斜上求方面也
[003-12b]
第四十八問
今有方田一叚内有直池水占之外有地三百四十步
只云其池廣不及長四步又云從田楞通池長一十
五步問三事各多少
答曰田方二十步 内池長一十步 廣六步
法曰立天元一為池長減於倍通步□丨為田方面
以自之得□□丨為田方積於頭再置天元池長内
減較四步□丨為池濶以天元乗之得□丨為直池
[003-13a]
積以減頭位得□□○為如積一叚
寄左然後列直積三百四十步與左
相消得□□下法上實如法而一得
一十步即池長也以長減於倍通步
即方田面也
依條叚求之四叚通步冪内減田積為實四之通步
内減池較為法如法得池長
義曰四之通步為法内欠一箇池長冪却用所漏之
[003-13b]
池補之猶差一池較
為法合除之數也既
於實積内虚了此數
故作法時於四之通步内減去一數也
第四十九問
今有方田一叚内有小方池結角占之外計地一萬八
百步只云從外田楞至内池角各一十八步問内外
方各多少
[003-14a]
答曰外田方一百二十步 内池方六十步
法曰立天元一為内方面身外加
四又加倍至步三十六得□□為
田方面以自乗得□□□為外方
積於頭再置天元内方面以自之
得元/○丨為内池積也以減頭位得□□□為如積一
叚寄左然後列真積一萬八百步與左相消得□□
□開平方得六十步為内池方面也内方面身外加
[003-14b]
四又加倍至步即方面也
依條叚求之見積内減四叚至步冪為實四之至步
身外加四為從九分六釐常法
義曰從步内加四者是於一箇方
面上求
第五十問
今有方田一叚自有小方池結角占之外計地九千三
[003-15a]
百七十五步只云從外方角至内池面各五十七步
半問内外方各多少
答曰外田方一百步 内池方二十五步
法曰立天元一為内方面
加倍至步一百一十五步
得□丨為外田斜以自之
得□□丨為所展方積於
頭再置天元内池面以自
[003-15b]
之得元/○丨為内池積又就分以一步九分六釐乗之
得下元/○□亦為所展之池積也以減頭位得□□□
為一叚所展如積寄左然後列真積九千三百七十
五步以一步九分六釐乗之得一萬八千三百七十
五與左相消得□□□開平方得二十五步即内方
面也
依條叚求之展積内減四叚至步冪為實四之至步
為從九分六釐虚常法
[003-16a]
義曰展積時其池亦展得虚了九
分六釐也
第五十一問
今有方田一叚内有小方池結角占之外計地四十五
畆只云從外田南邉斜通池北角一百二步問内外
方各多少
[003-16b]
答曰外田方一百二十步 内池方六十步
法曰立天元一為内方面身
外加四為池斜以減於倍通
步二百四步得□□為外方
面以自之得□□□為方田
積於頭又置天元内池面以自之得下元/○丨為内方
池也以内方池減頭位得□□□為如積一叚寄左
然後列真積一萬八百步與左相消得□□□平方
[003-17a]
開之得六十步為池方面也
依條叚求之四叚通步冪内減見積為實四之通步
加四為從九分六釐虚隅法
義曰從步身外加四者蓋是於池
斜上求池面也
舊術曰倍通步自乗以田積減之餘折半為實倍通
[003-17b]
步加四為從亷常置四分八釐減從開方見内方
面
第五十二問
今有方田一叚内有方池結角占之外計地三十九畆
零一十五步只云從田東南角至内池西北面八十
二步半問内外方面各多少
答曰外田方面一百步 内池方面二十五步
法曰立天元一為内方面減於倍通步一百六十五
[003-18a]
步得□丨為外田斜也以自之得
□□丨為所展外田積於頭再置
天元池方面以自之為方池積又
就分以一步九分六釐乗之得元/○
□為所展方池積也以減頭位得□□□為展起底
如積一叚寄左然後列真積三十九畆一十五步通
納得九千三百七十五步又就所展分母一步九分
六釐乗之得一萬八千三百七十五步與左相消得
[003-18b]
□□□平方開之得二十五步即内池面也以池面
減於倍通步又身外去四即外方面也
依條叚求之四叚通步冪内減展積為實四之通步
為從九分六釐常法
義曰元以展積減四叚通步
冪時漏下一步九分六釐池
積今来於從步内疊用了一
個方外剰九分六釐
[003-19a]
第五十三問
今有方田一叚内有直池結角占之外計地八百五十
步只云從田角通水長三十七步通水濶三十二步
問三事各數
答曰池長二十五步 濶一十五步 外田方三十
五步
法曰立天元一為内池長減於倍通步七十四步得
□丨為外田斜也以自之得□□丨為所展外田積
[003-19b]
於頭再置倍通長七十四步内
減倍通濶六十四步餘一十步
乃池長濶差也或直以通長通/濶相減於者倍
之亦為長/濶差也再置天元池長内減
長濶差得□丨為濶也以天元長乗之得□丨為直
池積也又就分以一步九分六釐乗之得□□為展
起底直池積也以減頭位得下式□□□為所展如
積一叚寄左然後列真積八百五十步就分以一步
[003-20a]
九分六釐乗之得一千六百六十六步與左相消得
□□□開平方得二十五步為内池長也以減倍通/長步又身
外去四即外/田方面也
依條叚求之四叚通長冪内減展積為實四之通長
於頭以一步九分六釐乗長濶差以減頭位為從九
分六釐常法
義曰據從步合用之積於疊起處少了一方今将減
積時漏下所展水池補了一甲之地若更得一乙之
[003-20b]
地則共補成一步九
分六釐之地方也按/原
圖仍用正方今易/為直方庶為簡明今
不可補故於從步内
減去所展差步便是
於從法合用之積内借了一乙之地恰補就一步九
分六釐之方也除補了疊起的一步方外猶剰九分
六釐故以之爲常法也
[003-21a]
第五十四問
今有方田一叚内有直池結角占之外計地一千一百
五十步只云從田角至水兩頭各一十四步至水兩
邉各一十九步問三事各多少
答曰方四十五步 池長三十五步 濶二十五
步
法曰立天元一爲池濶加二之邉至步三十八得□
丨為外田斜以自之得□□丨為所展外田積於頭
[003-21b]
二之邉至步内減二之頭至步
餘一十步為池長濶差也再置
天元池濶加差一十步得□丨
為池長也用天元池濶乗之得
□丨為直池積也又就分以一步九分六釐乗之得
□□步為所展之池積也以減頭位得□□□為所
展如積一叚寄左然後列真積一千一百五十步以
一步九分六釐乗之得二千二百五十五十四步與
[003-22a]
左相消得□□□開平方得二十五步為池濶也又/加
二之邉至步又身外/去四即外方面也
依條叚求之展積内減四叚邉至步冪為實四之邉至步於頭
以一步九分六釐乗長濶差減頭位餘為從九分六釐虚常法
義曰所展池積内将四叚紅按/原
圖應減者以/紅色别之積恰補作九分六
釐虚常法其兩箇所占半差於
減從時又以一步九分六釐乗
[003-22b]
之者葢欲合身外加四所乗積也
按展積義多未備此條尤略今具圖説以詳之
義曰外四隅方所減之四至冪
也中十字積為實則池濶為隅
四之至步為從也附直池外斜
方展池積也平分上下二尖形
附於左右二尖形外成一原池濶乗展池正長之直
方展池正長為原池長之一步九分六釐十字積與
[003-23a]
展池積之較為實是前從隅内應少原池長之一步
九分六釐又為少原池長濶較之一步九分六釐併
原池濶之一步九分六釐故展較減前從以為從展
隅反減前隅為虚隅也
第五十五問
今有圓田一叚内有圓池水占之外計地二十三畆一
分只云内外周徑共相和得四百二十四步問内外
周徑各多少圖依宻率/
[003-23b]
答曰外周二百八十六步徑九十一步 内周一
百一十步徑三十五步 實徑二十八步
法曰立天元為實徑以減相和
步四百二十四得□丨為内外
周共步用天元實徑乗之得□
丨為如積兩叚寄左然後列二
之真積一萬一千八十八步與左相消得□□丨開
平方得二十八步為實徑也以徑步除田積於頭位
[003-24a]
又二十二乗徑步如七而一得數若加頭位即外周
若減頭位即内周也
義曰以徑步除田積所得乃半内周半外周共步也
又據古率三箇實徑即是半箇外内周差步也縁此
問係是宻率故以二十二乗徑以七約之也即得半
差以加共步即是外周以減共步即是内周也又據
古率三之實徑以加減共步者縁共步便三空徑三
實徑共數也於此共數内加三實徑則恰是三箇大
[003-24b]
圓徑故為一箇外周也若共數内減去三實徑則正
有三箇小圓徑故為一箇内周也今是宻率故先以
二十二之七而一所以附就此數以求内外周也
依條叚求之倍積步為實和步為從一益隅
義曰以和步為從
是於内外周數外
又引出一步虚常法也
第五十六問
[003-25a]
今有圓田一叚内有圓池水占之外計地二十三畆一
分只云從外田通内池徑六十三步問同前
答同前
法曰立天元為實徑加通步六
十三得□丨為外田徑以自之
得下□□丨為外圓徑冪又十
一之得下式□□□為十四叚
外圓積於頭再置天元實徑以減通步得□丨為内
[003-25b]
圓徑以自之得□□丨為内圓徑冪又十一之得□
□□為十四叚内圓積也以減頭位得下式□步為
十四叚如積寄左然後列真積二十三畆一分法通
得五千五百四十四又就分一十四之得七萬七千
六百一十六與左相消得□□下法上實如法而一
得二十八步為實徑也以實徑加通步即外徑若減
通步即内池徑也
依條叚求之十四之積為實四十四之通步為法求
[003-26a]
得實徑
此問難以為式强立此式以推之毎積之長乃三箇
通步今十四之積合以四十二箇通步除之今用四
十四之通步為法者縁宻率之周稍多於古率之周
也假令古率七箇積即合用二十一箇通步為法若
依宻率七箇積即合用二十二箇通步為法此問乃
[003-26b]
併十四之積為實是合用四十四箇通步為法也
舊術曰二十二之通步如七而一為法除田積見徑
又法倍通步自之又十一之於上以十四之積減上
餘為實四十四之通步為法見池徑
按條叚皆於立天元一内取出而於方圓變積之
義或未暇深思故謂難以為式若以方環圓環解
之固易易耳今増一圖義於後而舊術又法先求
池徑更可互相發明因並附焉
[003-27a]
義曰圓冪率十一方冪率十四以十四
乗圓環積便為十一方環積毎環為實
徑乗通步之直方四故以十一方環積為
實四十四通步為法即得實徑也
義曰倍通步即大小徑併其冪内有
大小徑冪各一大小徑相乗直方二
内減圓環積所變之方環積餘小徑
冪二大小徑相乗之直方二又為小
[003-27b]
徑乗大小徑併之直方二又為小徑乗通步之直方
四故以十一倍之積較為實四十四之通步為法即
得小徑也
第五十七問
今有圓田一叚内有直池水占之外計地八千七百四
十四步只云兩頭至田楞各二十一步兩畔至田楞
各四十五步問三事各數
答曰田徑一百二十四步 池長八十二步 濶
[003-28a]
三十四歩
法曰立天元一為池濶加二之畔至
步得□丨為外田徑以自之得□□
丨為田徑冪以三之得□□□爲四
叚圓田積於頭二至歩相減餘二十
四步又倍之得四十八步為池長濶差也再立天元
池濶加差得□丨爲池長以天元濶乗之得□丨為
池積又就分四之得□□為四叚直池積以減頭位
[003-28b]
得□□丨為如積四叚寄左然後列真積八千七百
四十四步就分四之得三萬四千九百七十六步減
頭位得□□丨平方開之得三十四步為池濶也
依條叚求之四之見積内減十二叚畔至步冪為實
十二之畔至步内減四箇長濶差餘為從一步虚常法
[003-29a]
義曰八處以紅誌之者共是從内所減之數也
舊術曰四之積步於上又倍一畔步自乗三之減上
餘為實又併一頭一畔步六之内減了長濶之差餘
為從亷常置一步減從開方見池濶也
第五十八問
今有圓田一叚内有直池占之外計地一千五百八十
七步只云從田楞通地長四十二步通地濶三十七
步問三事各數
[003-29b]
答曰田徑五十四步 池長三十步 濶二十步
法曰立天元一為内池長以減
倍通長八十四步得□丨為田
徑以自之得□□丨為田徑冪
以三之得□□□為四叚圓田於頭再立天元一為
池長内減長濶差得□丨為池濶以天元一乗之得
□丨又就分四之得□□為四叚池積求長濶差者/倍通長内減
倍通濶/即是也以減頭位得下式□□丨為四叚如積寄左
[003-30a]
然後列四之真積六千三百四十八步與左相消得□□丨
開平方得三十步為内池長也以長減倍通長即田徑也
依條叚求之十二之通步冪内減四之見積為實十
二之通步内減四差為從一步常法
[003-30b]
義曰十二之從步内減去了三箇差又以三箇漏下
池積補了疊起底三步虚方外猶剰一池更用一差
減從併上所剰之一池恰補成一步常法也
第五十九問
今有二方夾一圓失却圓水占外有田積一十一畆五
分五釐其方圓相去重重徑等問方圓各多少
答曰内方面一十二步 圓徑三十六步 外方
面六十步
[003-31a]
法曰立天元一為等數五之得
□為外方面自之得元/○□為外
方積於頭一次立天元一為等
數以三之得□為中圓徑以自
之得元/○□為圓徑冪又三之四而一得元/○□為池積以
減頭位得元/○□為外田積内減了中圓積之數於次
位一再立天元等數便為内方面以自之得元/○丨為内
方積却加入次位得下□為如積一叚寄左然後列
[003-31b]
真積一十一畆五分五釐以畆法通得二千七百七十
二步與左相消得□□步下法上實如法而一得一百
四十四步再開平方得一十二步為等數也便是内
方面也三之為中圓徑五之為外方面 此問更無
條叚舊法以十九步二分半除積步得内方冪只是
以一步推之也假令内方一步則圓徑三步外方面
五步也於外方積二十五步之内減了中圓積六步
七分半却加入内方積一步計得十九步二分半也
[003-32a]
第六十問
今有二圓夾一方失却中方水占外有田積一十四畆
一分七釐半其方圓相去重重徑等問方圓各幾何
答曰内圓徑一十八步 方面五十四步 外圓
徑九十步
法曰立天元一為等數以五之為外
圓徑以自之得元/○□為外徑冪又三
之四而一得□為外田積於頭再立
[003-32b]
天元等數以三之為中方面又自之得元/○□為中方
冪以減頭位得元/○□為外圓積内減了中方冪之數
於次位又置天元等數便為内圓徑以自之得元/○丨
為内徑冪又三之四而一得元/○□為内圓積也却加
入頭位得元/○□為如積一叚寄左然後列真積一十
四畆一分七釐半以畆法通得三千四百二步與左
相消得□□下法上實如法而一得三百二十四步
再開平方得一十八步為等數便是内圓徑也副置
[003-33a]
之三因為中方面五因為外圓徑也 此問與前問
意同更無條叚舊法以十步半除積步得内徑冪亦
只是以一步推之假令内圓徑一步則是中方面三
步外圓徑五步先置外圓積一十八步七分半内減
了中方積九步却加内圓積七分半共得一十步半
也
第六十一問
今有方田一叚靠西北隅有圓池水占之外計地九百
[003-33b]
二十五步只云從外田東南隅至池楞二十五步問
面徑各多少
答曰外田方面三十五步 内池徑二十步
法曰立天元一為内池徑身外加
二得□為池東南楞至田西北角
也又加斜至步二十五步得□□
為外田斜以自之得□□□為田
斜冪於頭再立天元圓徑以自之為冪又以一步四
[003-34a]
分七釐乗之得元/○□為所展圓池積以減頭位得□
□□為所展如積一叚寄左初立天元身外加二者/以方求斜合加四今求
一半故加二也斜按加二係/以方求半方半 和之數也然後列真積九百二十
五步就分以一步九分六釐乗之得一千八百一十
三步與左相消得□□□平方開得二十步為池徑
也池徑外加二又添入斜至步却身外除四即外方
面也
依條叚求之展積内減斜至冪為實倍至步身外加
[003-34b]
二為從三釐虚常法減從開平方
義曰於一方外虚了四分七釐
從上帶了四分外虚七釐又於
從上乗起四釐外猶虚三釐故
以三釐為常法此圖内二分合
畫作極細形状與四分七釐外圓邉正自相應今不
應者但二分差濶耳所以畫作差濶之状者正欲易
辯二分之數也
[003-35a]
按原圖式有附斜至冪外磬折形無附池徑冪外
磬折形且二形相離皆𫝊本之誤也故義中所論
亦不知其何指今訂補此圖二分不必加濶未嘗
不易辨也
第六十二問
今有方田二叚靠西北隅有方池結角占外計地四畆
一十五步只云從田東南隅斜至水方面一十九步
問内外面各多少
[003-35b]
答曰外方面四十步 内方面二十五步
法曰立天元一為池方面身外加
四八又加入斜至步一十九步得
□□為外田斜也先将池斜變為/方故加四後又
将池方變為斜復合加四兩度加四於一步上合得/一步九分六釐今求一半故身外止加四八也 按
方一步求斜身外加四又以斜為方求斜再身外加/四是原方求再斜為身外加九六今求半方半再斜
之和數故/加四八也以自之得□□□為外田斜冪於上再立
天元一為池方面以自之又以四十九乗之如二十
[003-36a]
五而一得元/○□為展起方池積以減上得□□□為
所展如積一叚寄左然後列真積四畆一十五步以
畆法通内得九百七十五步又隨分以一步九分六
釐乗之得一千九百一十一步與左相消得□□□
平方開得二十五步為内池方面也於此方面上兩
次求斜合得一步九分六釐以除元方一步外有九
分六釐半之則得四分八釐故此方面上加四八更
加入斜至步為大方斜也
[003-36b]
以條叚求之展積内減至步冪為實二之至步以一
步四分八釐乗之為從二分三釐四絲為常法
義曰此一問其展起積時
於一池之外虚了九分六
釐却於一箇從步内加四
分八釐二箇從步計加了
九分六釐恰就了所展虗
數除外有一叚四分自乗數該一分六釐於上又有
[003-37a]
兩叚四分乗八釐數按附自/乗方外該六釐四毫於次又有
一叚八釐自乗數按小/方隅該六毫四絲於下三位併得
二分三釐四絲此數係是於展積内實有之數故以
常法也
舊術以四十九乗田積如二十五而一于頭位以至
水步自乗減頭位為實餘與條叚同
按原圖式四分八釐方内按分釐數細分之因其
數甚微又以分數釐數作等數分之終不免混淆
[003-37b]
今以亷隅線易之
第六十三問
今有大圓田一叚大小方田二叚其小方田内有圓池
水占之外共計積六萬一千三百步只云小方田面
至池楞三十步大方田面多於小方田面五十步其
圓田徑又多於大方田面五十步問四事各多少
答曰小方田面一百步 池徑四十步 大方田
面一百五十步 圓田徑二百步
[003-38a]
法曰立天元一為内池徑加二之至
水六十步為小方面於小方面上又
加入大小方面差五十步即大方面
也於大方面上又加入大圓徑大方
面差五十步即大圓徑也具圖於左
一内圓徑太/○丨 一小方面□丨
一大方面□丨 一大圓徑□丨
乃先置天元内圓徑以自之义三之
[003-38b]
得元/○□為四叚圓池積於上又置小方面□丨以自
之得□□丨為小方積以四之得下式□□□為四
叚小方積於次又置大方面以自之得□□丨為大
方積四之得□□□為四叚大方積於下又置大圓
徑下式□丨以自之得□□丨為大圓徑冪以三之
得下式□□□為四叚大圓積於下位之次併下三
位得下式□□□於右以四池積元/○□減於右得□
□□為如積四叚寄左然後列真積六萬一千三百
[003-39a]
步就分四之得二十四萬五千二百步與左相消得
□□□平方開之得四十步為内池徑也各加差步
即各得方面與圓徑也
依條叚求之四之田積於頭位内減三叚按落大圓/徑三字
多池徑冪又減四叚大方面多池徑冪又減十六叚
至水步冪為實六之圓田多池徑步又八之大方田
面多池徑步又十六之至水步三位併之得二千三
百二十步為從法亷常置八步開平方
[003-40a]
義曰三叚圓徑冪乃四箇圓田積此數内有三箇方
也其四叚大方田積内有四箇方也其四叚小方積
毎箇圓池外餘二分半四池計餘一步方也三位上
併帶八步方
第六十四問
今有方田一叚中心有環池水占之外計地四十七畆
二百一十七步只云共環水内周不及外周七十二
步又從田四角至水各五十步半問内外周及田方
[003-40b]
方各多少
答曰外周一百八十步 内周一百八步 田方
一百一十五步
法曰立天元一為池内徑
先以六除内外周差七十
二步得一十二步為水徑
倍之得二十四步加入天
元池内徑得□丨為池外徑又加倍至步一百一步得
[003-41a]
下式□丨為外田斜以自之得□□丨為田斜冪於
頭位再立天元池内徑加入二之水徑得□丨為池
外徑以自之得□□丨為外徑冪又以一步四分七
釐乗之得下式□□□步為展起底外圓積於次上
再立天元一池内徑以自之元/○丨亦以一步四分七
釐乗之得元/○□步/為展起底内圓積以減次上得□步
□○為所展底池積也以此池積減頭位得下式□
步□丨為展起如積一叚寄左然後列真積四十七
[003-41b]
畆二百一十七步以畆法通納之得一萬一千四百
九十七步又就分以一步九分六釐乗之得二萬二
千五百三十四步一分二釐與左相消得下式□步
□丨開平方得三十六步即池内徑也三之為内周
又加差為外周置内徑加二之水徑又加倍至步為
外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也
依條叚求之以一步九分六釐乗田積於頭位以水徑加
至步以自之為冪又四之以減頭位又倍水徑自乗又以
[003-42a]
一步四分七釐乗之却加入頭位為實又水徑加至步
四之於頭位又三之水徑以一步九分六釐乗之減頭位
為從一步常法此問圖式有三第一式即所畵原様
是也以一步九分六釐乗之變為斜冪其式如後
右第二式也黒者為元問
㸃者盡是展數恐糢糊難
辯再具加減圖式於下更
不見舊式也
[003-42b]
右第三式也其圓環以條
叚命之只是一箇方環内
取四分之三也却加入三
叚展起底水徑冪外只有
三叚展起底水徑乗内圓徑直田積也此係展環之
虚數也今以至步並水徑共為從故於内却除去水
徑之虚步也必湏以一步九分六釐乗水徑而去從
者縁二停虚環並是展起之積故減從時将水徑亦
[003-43a]
展起而減之也按展水徑展内圓徑皆於原數身外/加四今以内圓徑為不動則水徑必
兩度加四故以一步/九分六釐乗之也
[003-43b]
益古演段卷下
