KR3f0044 益古演段-元-李治 (master)


[001-1a]
欽定四庫全書
 益古演段卷上      元 李冶 撰
  第一問
今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七
 分半並不記内圓外方只云從外田楞至内池楞四
 邊各二十步問内圓外方各多少
  答曰外田方六十步 内池徑二十步
 法曰立天元一為内池徑加倍至步得□丨按太即/真數此
[001-1b]
         即四十步/併一池徑為田方靣按方靣/即每邊
         自增乗得□□丨按此即一千/六百步八十
         池徑一/平方併為方積於頭再立天元
         一為内池徑以自之又三因四
 而一得太/○○□按此即百分平方之七十/五上二○存步與池之位為池積以
 減頭位得□□□按此即一千六百步八/十池徑二分半平方為一段虚
 積寄左然後列直積以畝法按畝法二/百四十步通之得三千
 三百步與左相消按相消者兩邊同減一千六百歩後/凡言相消者皆兩邉加減一數也
[001-2a]
  得□□□按此即一千七百歩與八/十池徑二分半平方等開平方得二十
  步為圓池徑也倍至步加池徑即外方靣也
   按今借根方法即立天元一法詳見
御製數理精蘊兹不盡釋
  以條段求之真積内減四段至步冪為實四之至步
  為從二分半常法
  義曰真積内減四段至步冪者是減去四隅也以二
  分半為常法者是於一步之内占却七分半外有二
[001-2b]
         分半也
 
 
 
   第二問
 今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七
  分半並不記徑面只云從外田南楞通内池北楞四
  十步問内圓外方各多少
[001-3a]
  答曰同前
         法曰立天元為池徑減倍通步
         得□丨按此即八十/步少一圓徑為田方靣
         以自増乗得□□丨按此即六/千四百步
         少一百六十/徑多一平方為方田積於頭又
 以天元池徑自之三因四而一得太○/○按此即百/分平方之
 七十/五為池積以減頭位得□□□按此即六千四百/步少一百六十徑
 多二分/半平方為一段虚積寄左然後列真積三千三百步
[001-3b]
 與左相消得□□□按此即三千一百步與一百/六十徑少二分半平方等
 平方得二十歩即内池徑也倍通步内減池徑為方
 靣也
 依條段求之倍通步自乗於頭位以田積減頭位餘
 為實四之通步為從二分半虚常法
 義曰倍通步者是於方靣之外引出一圓也用二分
 半虚常法者是一箇虚方内却有減餘圓池補了七
 分半外欠二分半故以之為虚隅也
[001-4a]
 
 
 
 
 
  第三問
今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三
 百二十八歩只云從外田角斜至内池楞各五十二
[001-4b]
 步問靣徑外方各多少
  答曰外田方一百二十步 内池徑六十四步
         法曰立天元一為内池徑加倍
         至步得□丨為方斜以自増乗
         得□□丨為方斜冪於頭其方/斜上
         本合身外減四今不及減便是寄一/步四分為分母也今此方斜冪乃
 是變斜為方靣以自乘之/數又别得是展起之數也又立天元為池徑自之又
 三因四而一為池積今為方田積既以展起則此池
[001-5a]
 積亦須展起故又用一步九分六釐乗之得一步四
 分七釐亦為一箇展起底圓池積也以一步九分六/釐乘之者葢為
 分母十四以自之得/一步九分六釐也以池積減田積餘□□□為一
 段虚積寄左然後列真積一萬一千三百二十八步
 亦用分母冪一步九分六釐乗之或兩度不/加四亦同得二萬
 二千二百○二步八分八釐與左相消得□□□平
 方開之得六十四步為内池徑也倍至步加池徑身
 外除四見方靣也 一法求所展池積以徑自之了
[001-5b]
 更不湏三因四除及以一步九分六釐乗之只於徑
 冪上以一步四分七釐按此即三因四除一/步九分六釐之數乗之便
 為所展之池積也
 依條段求之展積内減四段至步冪餘為實四之至
 步為從四分七釐益隅
 義曰凡言展積者是於正積上以一步九分六釐乗
 起之數元法本是方靣上寄一步四分分母自乗過
 於每步上得一步九分六釐故今命之為展起之數
[001-6a]
         也諸變斜為方者皆凖此所展
         之池積是於一步圓積上展出
         九分六釐若以池徑上取斜為
         外圓徑則一步上止生得四分
 七釐也故以四分七釐為虚常法又取方冪一步九
 分六釐四分之三亦得圓積一步四分七釐也
  按法内皆以徑一周三方五斜七為率故各靣積
  分數與宻率不合葢此書専為明理而作宻率數
[001-6b]
  繁碍於講解故用古率以從簡且其法既明即用
  宻率亦無不可
  第四問
今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三
 百二十八步只云從外田角斜通池徑得一百一十
 六步問靣徑外方各多少
  答曰外田方一百二十步 内池徑六十四步
 法曰立天元一為圓徑減倍通步得下□丨為方斜
[001-7a]
         以自之得□□丨便為所展方
         田積於上再立天元一為池徑
         以自之又以一步四分七釐乗
         之得太○/○步/便為所展圓池
 積也以池積減上田積餘得□□□為一段如積寄
 左然後列真積如法展之得二萬二千二百○二步
 八分八釐與左相消得□□□平方開之得六十四
 步為内池徑也以池徑減倍通步即是方田斜身外
[001-7b]
 除四為方靣也
 以條段求之四段通步冪内減展積為實四之通步
 為從四分七釐常法
           義曰四之通步為從其減
           積外實欠一箇方今即有展
           池減時所剰之積補却一
           箇虛方外猶剰一箇四分
           七釐為常法也
[001-8a]
  第五問
今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝二
 分只云内圓周不及外方周一百六十八步問方圓
 各多少
  答曰外方周二百四十步 内圓周七十二步
 法曰立天元一為内圓周加一百六十八步得□丨
 為外方周以自増乗得□□丨為一十六箇方田積
 又三因之得□□□為四十八段方田積於頭所以/三因
[001-8b]
         為四十八者就為/四十八分母也再立天元圓
         周以自之元/○丨為十二段圓池
         積圓周冪為九箇圓徑冪每三九/箇圓徑冪為四箇圓池積今
         箇圓徑冪共為十/二箇圓池積也又就分四之
 得元/○□為四十八箇圓池積以減頭位得□□丨為
 四十八段如積寄左然後列真積一十三畝二分以
 畝法通之得三千一百六十八步又就分母四十八
 之得一十五萬二千○六十四步與寄左相消得□
[001-9a]
 □丨平方開之得七十二步為内圓周也三而一為
 池徑
 依條段求之四十八段田積内減三段不及步冪為
 實六之不及為從一虚隅
 
 
 
 義曰每一箇方周方為十六段方田積今三之為四
[001-9b]
 十八段方田積也内除了三箇圓周冪外於見積上
 虚了一箇圓周冪也今求圓周故以一步為虚隅法
 舊術曰以十六乗田積為頭位以合方/周之積以不及步自
 乗減頭位餘三之為實六之不及步為從法㢘常以
 一步為減從法
  第六問
今有方田一段内有圓池水占之外計地二千六百七
 十三步只云内圓周與外方靣數等問各多少
[001-10a]
  答曰外方靣内圓周各五十四步
         法曰立天元一為方靣便是/圓周
         自之得元丨便為十二段池積
         也再立天元方靣以自之又十
         二之得元/○□為十二段方田積
 也二數相減餘元/○□為十二段如積寄左然後列真
 積就分母十二之得□與左相消得□□平方開之
 得五十四步為方靣亦為圓周徑也
[001-10b]
 依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法
           義曰一箇方田積便是一
           箇圓周積也一箇圓周積
           便是十二箇圓池積今將
           一十二箇圓池積減於十
 二箇方田積通有十一段方田積也
 舊術曰以十二乗田如十一而一所得開方除之合
 前問也
[001-11a]
 又法立天元一為等數以自之為外田積又就分母
 九之得元/○□為九箇方田積於頭又立天元等數以
 自之為十二箇圓池積也三之四而一得元/○□為九
 箇圓池以減頭位得元/○□為九段如積寄左然後列
 真積就分九之得二萬四千○五十七步與左相消
 得□○□平方開得五十四步為等數也
 依條段求之九之積為實無從八步二分半為常法
 義曰每一箇方冪為十二箇圓池今將見有底九箇
[001-11b]
         圓池去了七分半餘二分半併
         實有八箇方恰是八箇二分半
         也
         又法立天元一為徑以三之為
 外方靣以自之得元/○□為外方積於上再立天元圓
 徑以自之三之四而一得元/○□為圓池積也以此圓
 積減方積得元/○□為一段如積寄左然後列真積與
 左相消得下式□○□平方開得一十八步為圓徑
[001-12a]
 也
 以條段求之積為實八步二分半為常法
         義曰中間一方除圓池四分之
         三外有四分之一即是一步内
         得二分半也
         舊術曰列積步以八步二分半
 為法除之所得再開方見内圓徑
  第七問
[001-12b]
今有方田一段内有圓池水占之外計地一千三百五
 十七步只云外方靣不及内池周一十四步問方圓
 各多少
  答曰方靣四十步 圓周五十四步
         法曰立天元一為外方加不及
         一十四步得□丨為内周以自
         増乗得□□丨為十二箇圓池
         積於頭再立天元方靣以自之
[001-13a]
 又十二之為十二箇方田積内減頭位得□□□為
 十二段如積寄左然後列見積一千三百五十七步
 就分母十二通之得一萬六千二百八十四步與左
 相消得□□□開平方得四十步為外方靣也
 依條段求之十二之積内加入不及步冪為實二之
 不及步為虚從十一步常法
 義曰其十二段積内𢃄起十二箇圓池其十二箇
 圓池補成一箇圓周方其圓周多於方靣十四步故
[001-13b]
              自之為冪加入所
              欠之一角又二之
              為虚從恰得十一
 箇方也
  第八問
今有方田一段内有圓池水占之外有地一十三畝七
 分半只云内外方圓周共相和得三百步問方圓周
 各多少
[001-14a]
  答曰外方周二百四十步 内圓周六十步
         法曰立天元一為圓徑以三之
         為圓周以減共步得□□為方
         周以自増乗得□□□為十六
         段方田積於頭再立天元圓徑
 以自之又十二之得太/○○□為十六箇圓池積以減
 頭位得□□□為十六段如積寄左然後列真積一
 十三畝七分半以畝法通之得三千三百步又就分
[001-14b]
 母一十六通之得五萬二千八百步與左相消得□
 □□開平方得二十步為圓池徑又三之為圓周也
 依條段求之和步冪内減十六之見積為實六之和
 步為從三步常法
 義曰十六箇圓池該十二箇方内從步合除去九箇
 方外猶剰三箇方故以三步為常法也
 舊術曰列相和步自乗為頭位又以十六之田積減
 頭位又六而一為實以相和步為從法廉常置五分
[001-15a]
 
 
 
 
 
 
  第九問
今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六
[001-15b]
 十八步只云内外周與實徑共相得三百三十步問
 三事各多少
  答曰外方周二百四十步 實徑十八步 圓周
  七十二步
         法曰立天元一為池徑以五之
         減倍之相和步得□□為九箇
         方靣以自増乗得□□□為八
         十一段方田積於頭位二之相/和步别
[001-16a]
 得是八方面六圓徑二實徑今將二實徑與一圓徑/就成一方靣共前數計九方靣五圓徑却更無實徑
 也/再立天元池徑以自之又以六十步七分半乗之
 得元/○□為八十一箇圓池所以用六十步七分半乘/之者欲齊其八十一分母
 也每箇圓池七分半以八十/一通之得六十步七分半也以此減頭位餘□□□
 為八十一段如積寄左然後列真積三千一百六十
 八步以八十一通之得二十五萬六千六百○八與
 左相消得下□□□步/開平方得二十四步為池徑
 也五因池徑減倍相和餘九而一得方田靣以池徑
[001-16b]
 減方餘折半為實徑
 依條段求之倍共步自乗於頭以八十一之田積減
 頭位餘為實二十之共步為從三十五步七分半為
 常法
         義曰八十一箇方田内𢃄起八
         十一箇圓池每箇圓池七分半
         此八十一箇計該六十步七分
         半其從步内合除去二十五箇
[001-17a]
 外猶剰三十五箇七分半故以之為常法也
 舊術曰倍相和步自乗為頭位又以八十一乗田積
 減頭位餘退一位為實倍相和步為從法廉常置三
 步五分七釐半
  第十問
今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六
 十八步只云内外方圓周與斜徑共相和得三百四
 十二步問三事各多少
[001-17b]
  答曰外方周二百四十步 内圓周七十二步
    斜三十步
         法曰立天元一為池徑以二十
         五之減於十之相和三千四百
         二十步得□□為四十七箇外
         方靣以自増乗得□□□為二
 千二百九段方田積於頭位十之相和步三千四百/二十為方靣四十箇内
 池徑三十箇斜至步一十箇以一十箇斜至步合入/五箇池徑共得五斜此五斜却便是七箇方靣計總
[001-18a]
 數該四十七箇方靣二十五/箇圓徑外更無斜至步也再立天元池徑以自之
 又以一千六百五十六步七分半乗之得元/○ □為
 二千二百○九箇圓池積也所以用一千六百五十/六步七分半乗之者欲
 齊其二千二百○九分母也每一箇圓池積七分半/今有二千二百○九箇圓池積以七分半乘之該一
 千六百五十六/步七分半也以此減頭位得□□□為二千二百
 九段如積數寄左然後列真積三千一百六十八步
 以分母二千二百九通之得六百九十九萬八千一
 百一十二步與左相消得□□□開平方得二十四
[001-18b]
 步即池徑也以二十五之圓徑減十之和步餘四十
 七而一得為外方靣身加四内減了圓池徑餘折半
 為斜徑也
  按法内所用四十七方靣之數亦由立天元一法
  取出但截去前段恐初學不能無疑兹仍依其法
  補之
  法立天元一為池徑五因之以減倍和得□□為
  八方靣一斜共數以方五因之得□□為實又以
[001-19a]
  方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七併之
  得四十七為法除實得方靣不除便為四十七箇
  方靣也
 依條段求之相和步進一位自乗於頭位以二千二
 百九之真積減頭位餘為實五百之和步為益從一
 千三十一步七分五釐為益隅
 義曰減數係是二千二百九段方靣冪内却漏下二
 千二百九箇圓池此數該一千六百五十六箇七分
[001-19b]
         圓徑冪却於從步上疊用了六
         百二十五箇池徑冪外猶剰一
         千三十一箇七分五釐故以之
         為隅法其從法元有五十箇圓
 徑今命為之五百者縁相和步進一位也
 舊術曰列相和步進一位自相乗為頭位以二千二
 百九之積減頭位餘以三之為實又以一千五百之
 相和步為從法廉常置三千九十五步二分半開平
[001-20a]
 方見池徑
  第十一問
今有圓田一段内有方池水占之外計地二十五畝餘
 二百四步只云從外田楞至四邊各三十二步問外
 圓内方各多少
  答曰外圓徑一百步 内方靣三十六步
 法曰立天元一為内方靣加倍至步為外田徑以自
 之得下式□□丨又三之得□□□為四段圓田積
[001-20b]
         於頭再立天元方靣以自之又
         就分母四之得元/○□為四池積
         以減頭位得□□丨為四段如
         積數寄左然後列真積又就分
 四之得二萬四千八百一十六步與左相消得□□
 丨開平方得三十六步為方池靣也加倍至步即圓
 徑也
 依條段求之四之積步於頭位作三箇外圓徑冪内/出了四箇方池積也
[001-21a]
 内減十二之至步冪為實十二之至步為從一虚隅
 
 
 
 義曰四箇外圓田内減了十二段至步冪復以十二
 之至步為從又合去四箇方池今元積内有三箇虚
 池外猶欠一箇虚池故以一步為虛隅常減從以為
 法
[001-21b]
 又有圓田一段中有方池水占之外有田五十步只
 云方池一尖抵圓邊其一尖至圓邊三步問圓徑方
 靣各若干
  答曰徑十歩 靣五步
         法曰立天元一為方斜加三步
         為圓徑以自之又以一步九分
         六釐乗之得□步/□□按此為/一平方
         九分六釐多十一元七分六釐/多十七步六分四釐諸條皆步
[001-22a]
 數在上此條/獨步數在下又三之得□步/□□内減四之天元冪
 得上層□中下云云按即多三十五元二分八釐/多五十二平方九分二釐
 左然後置五十步兩度加四得□步/又四之得□步/
 與左相消得下層三百三十九步○八釐按此下當/加與一平
 方八分八釐多三十五元/二分八釐等十八字方明負開平方得七步即池斜
 也副置池斜上位加至步即圓徑下位身外減四即
 方靣也合問
 依條段求之四段展起見積内減三段展起至步冪
[001-22b]
 為實六之至步展起為從一步八分八釐為常法也
 此問若求方靣則其法甚易今求方斜故其圖須細
 分之
 
 
 
 義曰三箇九分六釐共計二步八分八釐其元初作
 四段如積時合有四箇所展之池今來只見三箇故
[001-23a]
 於二步八分八釐内去却一步有餘只有一步八分
 八釐為常法也此法於别紙上/抄得故録於此
  第十二問
今有圓田一段内有方池水占之外有地二十五畝零
 二百四步只云從外田楞通内方方靣六十八步問
 各數若干
  答曰外圓徑一百步内方靣三十六步
 法曰立天元一為内方靣減倍通步得□丨為外圓
[001-23b]
         徑以自之得□□丨為圓徑冪
         以三之得□□□為四段圓田
         積於頭再立天元内方靣以自
         之又就分母四之得元/○□為四
 段方池積以減頭位得□□丨為四段如積數寄左
 然後以四之見積二萬四千八百一十六步與左相
 消得□□丨平方開之得三十六步為内方靣也減
 倍通步即圓徑
[001-24a]
 依條段求之十二段至步冪内減四之見積為實十
 二之通步為從一常法
              義曰所減數内剰
              下四箇方池疊補
              了三箇外猶剰一
 箇故以之為常法
  第十三問
今有圓田一段内有方池水占之外計地五千步只云
[001-24b]
 從外田楞至内池角四邊各一十五步問方圓各多
 少
  答曰外圓徑一百步 内方靣五十步
         法曰立天元一為内方靣身外
         加四為内方斜又加倍至步得
         □□為外圓徑也以自増乗得
         □□□為外徑冪以三之得□
 □□為四段外圓積於頭再立天元内方靣以自之
[001-25a]
 又四之得元/○□為四段方池積也以減頭位餘□□
 □為四段如積數寄左然後列四之見積二萬步與
 左相消得□□□開平方得五十步為池方靣也身
 外加四又加入倍至步即為外田徑也
 依條段求之四之積步内減十二段至步冪為實十
 二之至步身外加四為從一步八分八釐為常法
 義曰三箇九分六釐計二步八分八釐其四箇圓田
 内有四箇方水池除從步合占三箇外猶剰一箇水
[001-25b]
 
 
 
 池却於數内取了一步餘一步八分八釐故以之為
 常法也其從步加四者葢取斜中之方靣也葢不加
 四不能見方靣而但得方斜也
 舊術曰四因積步為頭位又倍去角步自乗三之減
 頭位餘折半為實又倍去角步三因加四為從法廉
[001-26a]
 常置九分四釐
  第十四問
今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七
 步只云從田外楞通内池斜三十五步半問外圓内
 方各多少
  答曰外圓徑三十六步 内方靣二十五步
 法曰立天元一為内方靣加四得元/□為方斜以減倍
 通步得太/□□為外圓徑以自増乗得□□□為外田
[001-26b]
         徑冪也以三之得□□□為四
         段圓田積於頭再立天元内方
         靣以自之又就分四之得元/○
         為四段方池以減頭位得□□
 □為四段如積寄左然後列四之見積一千三百八
 十八步與左相消得□□□開平方得二十五步為
 内方靣也方靣加四減於倍通步得圓徑也
 依條段求之十二段通步冪内減四之田積為實十
[001-27a]
 二之通步加四為益從一步八分八釐常法
 
 
 
 義曰此式元係虚從今以虛隅命之四段圓田減積
 時剰下四段方池於從步内用訖三箇外猶剰一箇
 却於二步八分八釐虛數内補了一歩外虚一步八
 分八釐故以之為法從負隅正或從正隅負其實/皆同故因此廉從以别之
[001-27b]
 舊術曰倍通步自乗三之為頭位四因田積減頭位
 餘為實又十二通步加四為從法廉常置一步八分
 八釐減從開方新舊廉從不同開/時則同故兩存之
  第十五問
今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一
 百七十六步只云内方周不及外圓周一百五十二
 步問外圓内方各多少
  答曰外圓周三百六十步 内方周二百八步
[001-28a]
         法曰立天元一為内方靣以四
         之為内方周加不及一百五十
         二步得□□為外圓周以自増
         乗得□□□為十二段圓田積
 於頭再立天元内方靣以自之又就分十二之得元/○
 □為十二段方池積以減頭位餘□□□為十二段
 如積寄左然後列見積八千○九十六步又就分十
 二之得九萬七千一百五十二步與左相消得□□
[001-28b]
 □平方開得五十二步為内池方靣也以四之為内
 方周加不及步為圓周也
 依條段求之十二段積步内減不及步冪為實八之
 不及步為從四步為常法也
         義曰十二段圓積該九段圓徑
         冪九段圓徑冪便是九箇圓周
         冪也據十二段圓積内元少十
         二箇方池今於周冪内除折筭
[001-29a]
 外剰四箇池積故以四步為常法也
 舊術曰十二之積步為頭位以不及步自乗減頭位
 餘八而一為實以不及步為從法廉常置半步開平
 方新舊二術不同者舊術從簡耳算術本貴簡易/而猶立新術者縁舊術難畫條段也餘倣此
  第十六問
今有圓田一段内有方池水占之外計地三千五百六
 十四步只云内方周與外圓徑等問等數各若干
  答曰内方周外圓徑各七十二步
[001-29b]
         法曰立天元一為等數便以為
         方周以自之為十六箇方池於
         頭元/○丨再立天元等數便以為
         圓徑以自之又十二之得元/○
 為十六段圓田積内減頭位餘元/○□為十六段如積
 寄左然後列真積三千五百六十四步又就分十六
 之得五萬七千○二十四步與左相消得□○□平
 方開得七十二步即等數也
[001-30a]
  按法後落條段一條依前例補之
 依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法
              義曰十六箇圓積
              乃十二段圓徑冪
              也其十六箇圓積
 内有十六箇方池恰是一箇方也此一箇方便是等
 數冪也
 舊術曰列田積從十一段平方開之得内方靣四之
[001-30b]
 即等數也乂法以十六乗田積如十一而一所得開
 方即等數
  第十七問
今有圓田一段内有方池水占之外有地一千六百一
 十一步只云外圓徑不及内方周四十二步問方圓
 各若干
  答曰外圓徑五十四步 内方周九十六步
 法曰立天元一為外圓徑加不及四十二步得
[001-31a]
         為内方周以自増乗得下式□
         □丨為十六段池積於頭再立
         天元外圓徑以自之又十二之
         得元/○□為十六段田積也内減
 頭位餘□□□為十六段如積寄左然後列真積一
 千六百一十一步就分母十六之得二萬五千七百
 七十六步與左相消得□□□平方開得五十四步
 為外圓徑也加不及步為内方周也
[001-31b]
 依條段求之置十六之積加不及步冪為實倍不及
 步為虚從一十一步為常
             義曰十二箇圓徑
             冪該十六箇圓田
             積十六箇圓田積
 内有十六箇方池其十六箇方池於實積内侵過所
 加一角并二段虛從之數也
  第十八問
[001-32a]
今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七
 步只云外圓周内方周共得二百八步問内外周各
 多少
  答曰外圓周一百八步 内方周一百步
         法曰立天元一為内方靣以四
         之為内方周減於相和二百八
         步得□□為外圓周以自增乗
         得□□□為圓周冪便為十二
[001-32b]
 段圓田積於頭再立天元内方靣以自之又就分十
 二之得元/○□為十二段方池積也以減頭位餘□□
 □為十二段如積寄左然後列見積三百四十七步
 就分母十二之得四千一百六十四步與左相消得
 □□□開平方得二十五步為内方靣也四之為内
 方周減於相和步為圓周也
 依條段求之以十二之積步減和步冪為實八之和
 步為虚從四常法
[001-33a]
         義曰十二段圓田内有十二箇
         方池於方周冪内補了十二池
         外猶欠四箇故以四為隅法此
         式元係虛從今却為虛隅命之
 故以四為虛常法
 舊術曰相和步自乗於頭位以十二之積步減頭位
 餘八而一為實相和步為從法廉常置半步減從
  第十九問
[001-33b]
今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一
 百七十六步只云内外周與實徑共相和得六百二步
 問三事各多少
  答曰外圓周三百六十步 内方周二百八步
    實徑三十四步
 法曰立天元一為内方靣以減一百七十二得□丨
 為外田徑也倍云數得一千二百四步别得是六箇/圓徑八箇方靣兩箇實徑今将一箇方
 靣兩箇實徑合成一箇圓俓併前數而計是七箇方/靣七箇圓徑也今置一千二百四步在地以七約之
[001-34a]
         得一百七十二步為徑靣共也/便是一箇方靣一箇圓徑更無
         實徑/也以自增乘得□□丨為圓
         徑冪也以三之得□□□為四
         段圓田積於頭再立天元内池
 靣以自之又就分四之得元/○□為四池積以減頭位
 得□□丨為四段如積寄左然後列見積八千九十
 六步又就分四之得三萬二千三百八十四步與左
 相消得□□丨開平方得五十二步為内方靣也以
[001-34b]
 七之方靣減於倍和步餘以七而一即圓徑也圓徑
 内減方靣餘者又半之即實徑也
 依條段求之徑靣共一百七十二也自之為冪又三
 之於頭位内減四之見積餘為實六之徑靣共步為
 從一常法
[001-35a]
 義曰四之真積内有四箇方池於從法内疊周了三
 箇外剰一箇故以一步為常法
 舊術曰倍相和步自乗三之為頭位以一百九十六
 步按此即四與四/十九相乗之數之田積減頭位餘以十四而一為
 實又六之相和步為從法廉常置三步半開平方見
 内方靣
  第二十問
今有圓田一段内有方池水占之外計地二千四百七
[001-35b]
 十五步只云内外周與斜徑相和得二百五十九步
 半問三事各多少
  答曰外圓周一百八十步 内方周六十步 斜
    十九步半
         法曰立天元一為内方靣以三
         十三之減於十之云數二千五
         百九十五步得□□為三十五
         箇圓田徑十之云數内有外圓/徑三十箇内方靣四
[001-36a]
 十箇角斜十箇今將七箇方靣併入十箇角斜為五/箇圓徑也總别得十之云數是方靣三十三箇圓徑
 三十五箇外更/無斜徑角也乃以三十五之圓徑自増乗得下式
 □□□為一千二百二十五段圓徑冪也以三因之
 得□□□合以四除之今不除便為四千九百段圓
 田積於頭再立天元内池靣以自之又就分以四千
 九百乗之得○□為四千九百段方池積以減頭位
 得□□□為四千九百段如積數寄左然後列真積
 二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千
[001-36b]
 二百一十二萬七千五百步與左相消得□□□平
 方開得一十五步為内方靣方三十三之方靣以減/於十之相和二千五
 百九十五步餘三十五而一即圓徑以/方靣加四減圓徑餘半之即斜徑也
 依條段求之十之相和步自之為冪以三之於頭位
 以四千九百段見積減頭位為實一千九百八十之
 相和步為從一千六百三十三為常法
 義曰減數計三千六百七十五箇圓徑冪便是四千
 九百箇圓田積也内漏下四千九百箇方池却於從
[001-37a]
              内疊用了三千二
              百六十七箇方池
              外猶剰一千六百
 三十三箇方靣冪故以之為常法也其從法元有一
 百九十八箇方靣合用一百九十八之相和步為從
 今用一千九百八十箇相和步者縁為相和步先進
 了一位也
  第二十一問
[001-37b]
今有方田三段共計積四千七百七十步只云方方相
 較等三方靣共併得一百八步問三方多少
  答曰大方靣五十七步 中方靣三十六步 小
    方靣一十五步
       法曰立天元一為方差以減中方靣
       置併數三而一/即得中方靣得□丨為小方靣也
       以自之得□□丨為小方積於頭再
       立天元方差加入中方靣得□丨為
[001-38a]
 大方靣以自之得□□丨為大方積於次位又列中
 方靣□自之得下□為中方積於下位三位相併得
 □○□為一段如積數寄左然後列真積四千七百
 七十步與左相消得□○□開平方得二十一步即
 是方差也置方差數加中方即大方/靣減中方即小方靣也
 依條段求之列併數以三約之所得即中方靣也以
 自之為冪又三之以減積為實無從二步常法
 義曰積步内減三箇中方冪外有兩箇方故得二步
[001-38b]
          常法舊術又折半止得一箇
          方也
 
 
  第二十二問
今有方田一段其西北隅被斜水占之外計地一千二
 百一十二步七分半只云從田東南隅至水楞四十
 五步半問田方靣多少
[001-39a]
  答曰田方靣三十五步
         法曰立天元一為水占斜加入
         云數四十五步半得□元/丨為田
         斜以自増乗得□步□丨為田
         斜冪於頭再立天元一水占斜
 以自之為水占得小方積就分以一步九分六釐乗
 之得元/○步/為所展得水占積也以減頭位得□□
 □步/為如積一段寄左然後列真積一千二百一十
[001-39b]
 二步七分半以一步九分六釐乘之得二千三百七
 十六步九分九釐與左相消得□□□開平方得三
 步半為水占斜加至步為田斜身外減四即是方靣
 也
 依條段求之展積内減至步冪為實二之至步為從
 九分六釐虛常法開平方得三步半即水占斜也
 義曰今將水占斜直命為小方池靣也
 舊術曰列田積於頭位又列至步除四則直至步以
[001-40a]
         自乗減頭位餘為實二之直至
         為從以九分六釐為廉從開平
         方得二步半加直至步三十二
         步半得三十五步即田方靣也
         此圖即舊術條段也舊術減云
         步為直至步入法而求得二步
         半為直至不及方靣步新術展
         積入法而求得三步半為水占
[001-40b]
 斜
 
 
 
 
 
 
 益古演段卷上