[009-1a] 
欽定四庫全書
續數學卷一
婺源江永撰
正弧三角疏義
目録
分支列目隨其所欲求者因目以檢後題
第一支
有正角有餘角有對正角之邊而求兩邊一角
[009-1b]
凡正弧三角鈐記甲為正角乙為餘角丙為交角乙丙為對正角之邊丙甲為對餘角之邊乙甲為對交角
之邊
求對餘角之邊第一題
求對交角之邊第二題
求交角第三題
第二支
有正角有餘角有對餘角之邊而求兩邊一角
求對正角之邊第四題
[009-2a]
求對交角之邉第五題
求交角第六題
第三支
有正角有交角有對正角之邊而求兩邉一角
求對交角之邉第七題
求對餘角之邉第八題
求餘角第九題
第四支
[009-2b]
有正角有交角有對交角之邉而求兩邉一角
求對正角之邉第十題
求對餘角之邉第十一題
求餘角第十二題
第五支
有正角有角旁相連之兩邉而求一邉兩角
求對正角之邉第十三題
求餘角第十四題
[009-3a]
求交角第十五題
第六支
有正角餘角夾一邊而求兩邊一角
求對正角之邊第十六題
求對餘角之邉第十七題
求交角第十八題
第七支
有正角交角夾一邉而求兩邉一角
[009-3b]
求對正角之邉第十九題
求對交角之邉第二十題
求餘角第二十一題
第八支
有正角有對正角交角之邉而求一邉兩角
求對餘角之邉第二十二題
求交角第二十三題
求餘角第二十四題
[009-4a]
第九支
有正角有對正角餘角之邉而求一邉兩角
求對交角之邉第二十五題
求餘角第二十六題
求交角第二十七題
第十支
有三角求三邉
求對正角之邉第二十八題
[009-4b]
求對餘角之邉第二十九題
求對交角之邉第三十題
已上正法已具
第十一支
不用正角以餘角交角二邉相對相求
餘角交角偕對餘角之邉求對交角之邉第三十一題
交角餘角偕對交角之邉求對餘角之邉第三十二題
對餘角交角之邉偕餘角求交角第三十三題
[009-5a]
對交角餘角之邉偕交角求餘角第三十四題
正弧三角形
甲為正角 乙為餘角 丙為交角
圓内全形圖及解義詳後
分題舉法
第一支有正角有餘角有對正角之邊求两邊一角
第一題
有甲角有乙角有對甲角乙丙邉求對乙角丙甲邉法曰半徑即甲角正弦後倣此與乙角正弦若乙丙正弦與丙甲正弦凡首舉者為一率言與者為二率言若者為三率後言與者為四率凡數以二率三率相乘為實以一率為法除之而得第四率為所求之數凡二率可易為三三率可易為二凡半徑為全數在首率者升位可省除在中間者升位可者乘後倣此
第二題
有甲角有乙角有對甲角乙丙邉求對丙角乙甲邊法曰半徑與乙角餘弦若乙丙正切與乙甲正切
第三題
有甲角有乙角有對甲角乙丙邉求丙角
法曰半徑與乙角正切若乙丙餘弦與丙角餘切第二支有正角有餘角有對餘角之邉而求兩邉一角
第四題
有甲角有乙角有對乙角丙甲邉求對甲角乙丙邉法曰乙角正弦與半徑若丙甲正弦與乙丙正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角餘割若丙甲正弦與乙丙正弦
第五題
有甲角有乙角有對乙角丙甲邉求對丙角乙甲邉法曰乙角正切與半徑若丙甲正切與乙甲正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角餘切若丙甲正切與乙甲正弦
第六題
[009-5b]
[009-6a]
有甲角有乙角有對乙角丙甲邉求丙角
法曰丙甲餘弦與半徑若乙角餘弦與丙角正弦
第三支有正角有交角有對正角之邉而求兩邉一角
第七題
有甲角有丙角有對甲角乙丙邉求對丙角乙甲邉
法曰半徑與丙角正弦若乙丙正弦與乙甲正弦
第八題
有甲角有丙角有對甲角乙丙邉求對乙角丙甲邉
[009-6b]
法曰半徑與丙角餘弦若乙丙正切與丙甲正切
第九題
有甲角有丙角有對甲角乙丙邉求乙角
法曰乙丙餘弦與半徑若丙角餘切與乙角正切首率易半
徑則次率易乙丙正割
第四支有正角有交角有對交角之邉而求兩邉一角
第十題
有甲角有丙角有對丙角乙甲邉求對甲角乙丙邉
[009-7a]
法曰丙角正弦與半徑若乙甲正弦與乙丙正弦
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角餘割
若乙甲正弦與乙丙正弦
第十一題
有甲角有丙角有對丙角乙甲邉求對乙角丙甲邉
法曰丙角正切與半徑若乙甲正切與丙甲正弦
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角餘切
若乙甲正切與丙甲正弦
[009-7b]
第十二題
有甲角有丙角有對丙角乙甲邉求對乙角
法曰乙甲餘弦與半徑若丙角餘弦與乙角正弦首率易半
徑則次率易乙甲正割
第五支有正角有角旁相連之兩邉而求一邉兩角
第十三題
有甲角有乙甲邉丙甲邉求對甲角乙丙邉
法曰半徑與丙甲餘弦若乙甲餘弦與乙丙餘弦
[009-8a]
第十四題
有甲角有乙甲邉丙甲邉求乙角
法曰乙甲正弦與半徑若丙甲正切與乙角正切
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙甲餘割
若丙甲正切與乙角正切
第十五題
有甲角有乙甲邉丙甲邉求丙角
法曰丙甲正弦與半徑若乙甲正切與丙角正切
[009-8b]
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙甲餘割
若乙甲正切與丙角正切
第六支有正角餘角夾一邉而求兩邉一角
第十六題
有甲角有乙角有乙甲邉求對甲角乙丙邉
法曰乙角餘弦與半徑若乙甲正切與乙丙正切
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角正割
若乙甲正切與乙丙正切
[009-9a]
第十七題
有甲角有乙角有乙甲邉求對乙角丙甲邉
法曰半徑與乙角正切若乙甲正弦與丙甲正切
第十八題
有甲角有乙角有乙甲邉求丙角
法曰半徑與乙角正弦若乙甲餘弦與丙角餘弦
第七支有正角交角夾一邉而求兩邉一角
第十九題
[009-9b]
有甲角有丙角有丙甲邉求對甲角乙丙邉
法曰丙角餘弦與半徑若丙甲正切與乙丙正切
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角正割
若丙甲正切與乙丙正切
第二十題
有甲角有丙角有丙甲邉求對丙角乙甲邉
法曰半徑與丙角正切若丙甲正弦與乙甲正切
第二十一題
[009-10a]
有甲角有丙角有丙甲邉求乙角
法曰半徑與丙角正弦若丙甲餘弦與乙角餘弦
第八支有正角有對正角交角之邉而求一邉兩角
第二十二題
有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙甲邉
法曰乙甲餘弦與半徑若乙丙餘弦與丙甲餘弦
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙甲正割
若乙丙餘弦與丙甲餘弦
[009-10b]
第二十三題
有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙角
法曰乙丙正弦與半徑若乙甲正弦與丙角正弦
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘割
若乙甲正弦與丙角正弦
第二十四題
有甲角有乙丙邉乙甲邉求乙角
法曰乙丙正切與半徑若乙甲正切與乙角餘弦
[009-11a]
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘切
若乙甲正切與乙角餘弦
第九支有正角有對正角餘角之邉而求一邉兩角
第二十五題
有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙甲邉
法曰丙甲餘弦與半徑若乙丙餘弦與乙甲餘弦
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙甲正割
若乙丙餘弦與乙甲餘弦
[009-11b]
第二十六題
有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙角
法曰乙丙正弦與半徑若丙甲正弦與乙角正弦
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘割
若丙甲正弦與乙角正弦
第二十七題
有甲角有乙丙邉丙甲邉丙甲邉求丙角
法曰乙丙正切與半徑若丙甲正切與丙角餘弦
[009-12a]
若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘切
若丙甲正切與丙角餘弦
第十支有三角求三邉
第二十八題
有甲角乙角丙角求乙丙邉
法曰乙角正切與半徑若丙角餘切與乙丙餘弦首率易半
徑則次率易乙角餘切
第二十九題
[009-12b]
有甲角乙角丙角求丙甲角
法曰丙角正弦與半徑若乙角餘弦與丙甲餘弦首率易半
徑則次率易丙角餘割
第三十題
有甲角乙角丙角求乙甲邉
法曰乙角正弦與半徑若丙角餘弦與乙甲餘弦首率易半
徑則次率易乙角餘割
已上皆有甲角半徑者正法已具其不用甲角者
[009-13a]
别為一支四題如左
第十一支不用正角以餘角交角二邉相對相求
第三十一題
有乙角丙角丙甲邉求乙甲邉
法曰乙角正弦與丙甲正弦若丙角正弦與乙甲正
弦
第三十二題
有丙角乙角乙甲邉求丙甲邉
[009-13b]
法曰丙角正弦與乙甲正弦若乙角正弦與丙甲正弦
第三十三題
有乙角有丙甲乙甲邉求丙角
法曰丙甲正弦與乙角正弦若乙甲正弦與丙角正
弦
第三十四題
有丙角有乙甲丙甲邉求乙角
法曰乙甲正弦與丙角正弦若丙甲正弦與乙角正弦
[009-14a]
平圓正弦三角圖
天上隨處皆可作弧三角此姑
以黄赤道圖之己辛癸丁圓為
極至交圈己為北極辛乙丁為
赤道庚為黄極壬乙戊為黄道
壬為冬至乙為春秋分戊為夏
至丙者設太陽所在己丙甲者
從北極出線過太陽抵赤道為過極圈之一象限九十度乙丙者太陽行過春分之經度乙甲赤道同升度丙甲距緯度戊丁者乙角之度也凡角度皆在九十度之圓周上春分至夏至黄赤皆足九十度故戊丁為乙角度此角度為黄赤道距緯古今不同古時不止二十三度半今度不及二十三度半姑以二十三度半算之可也庚己者黄極距北極之度亦與戊丁同度也甲為正角即直角其正弦滿半徑故即以半徑為甲角此甲乙丙形即前圖之灣曲形因側視故黄赤道成直線稍轉即成灣曲矣
此圖又有次形丙戊者黄道乙丙之餘弧甲丁者乙甲赤道之餘弧己丙者丙甲距緯之餘弧己戊者乙角丁戊之餘弧而甲丁弧又為己角之度是次形又有己戊丙之三角形戊為正角同甲角丙為交角同丙角己為餘角似乙角也本形有不能以正弦比例者則以次形易之而别法生焉
正弧形弧角相易又次形圖
甲乙丙正弧三角形既易為己丙戊次形又易為己庚子形
圖之己丙戊形即前圖之己丙戊形
丁與庚亦前圖之丁及庚此引丙戊
線至丑引丙己線至子皆滿象限作
丑子弧引之至庚與戊己庚弧會則
戊庚丑庚亦皆一象限成己子庚形與甲乙丙形相當子為正角同甲角己為交角似丙角庚為餘角似乙角也○乙丙邉易為庚角乙戊及丙丑皆象限内減同用之丙戊則戊丑即乙丙而戊丑即庚角之弧乙甲邉易為己角乙甲之餘度丁甲即己交角之弧是又次形
[009-14b]
[009-15a]
之兩角即元形之兩邉也乙角易為己庚邉前設乙甲丁戊為黄
赤距度則己庚者黄極赤極距度故二邉相等丙角易為子庚邉丙交角之弧丑子其餘弧
為子庚是又次形之兩邉即元形之兩角而子己即丙甲
子角即甲角於是次形有不能比例者易為又次形而
别法又生焉
續數學卷一
